【高数】极限常识和四则运算

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博客主页： [小ᶻZ࿆] 本文专栏: 数学

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前言

• 在本文中，我们将深入探讨高等数学中有关极限的理论基础、无穷小的精确分类与比较、通过四则运算求极限的系统方法，以及如何利用主导项法（抓大头法）处理复杂分式的极限问题。这些概念是理解函数行为的理论基石，并且是进一步学习微积分等高级数学内容的必要前提。
  

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第一部分：极限的基本概念

极限在分析数学中是描述函数在某个特定点或在趋于无穷远处行为的核心工具。函数在某点的极限描述了当自变量无限趋近于某个值时，函数值的收敛行为。简言之，极限刻画了当 $x$ 接近某特定值（或无穷大）时，函数 $f(x)$ 是否会趋于某个稳定的值。

极限理论不仅仅是描述简单的数值收敛，它提供了一种严谨的数学框架，能够有效捕捉函数在不同情况下的行为。极限的概念在微积分中起到承前启后的作用，既为导数的定义提供了基础，也为积分的计算奠定了理论依据。理解极限的意义和应用，是高等数学中深入分析函数变化的重要步骤。

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1.1 极限的定义

极限的定义可以描述为：当变量 $x$ 趋于某特定值 $x_0$ 时，函数 $f(x)$ 的值趋于某确定的数值 $L$。数学上表示为：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=L$$

这意味着当 $x$ 无限逼近 $x_0$ 时，$f(x)$ 的值将无限逼近于 $L$。在这里，“无限接近”并不意味着 $x$ 实际等于 $x_0$，而是指在逼近过程中，函数值趋近于一个特定的数值 $L$。这一点尤其重要，因为函数在某点的极限和在该点的值可能完全不同，甚至该点的函数值根本不存在。

为了更加严格地理解极限概念，我们需要借助 $ϵ-\delta$ 定义。对于任意一个正数 $ϵ>0$，都存在一个正数 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)-L|<ϵ$。这种定义方式为极限的收敛提供了数学上的精确描述，确保了极限值的唯一性和收敛性。

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1.2 极限与函数值的关系

函数在某点的极限值与该点的函数值之间没有必然的直接联系。函数在某个点的极限可能存在，而函数在该点的值可以与该极限不同，甚至该点的函数值可能并不存在。

例如：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x},& x\ne 0\\ 1,& x=0\end{array}$$

在上述例子中，当 $x\to 0$ 时，${\lim }_{x\to 0}f(x)=1$，然而，$f(0)=1$。因此，尽管极限和函数值在这个例子中相等，但它们之间并没有必然的联系。这表明极限更侧重于描述接近某点时的函数行为，而不一定与该点的实际函数值有关。

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1.3 左极限与右极限

为了验证极限的存在性，必须同时确认函数的左极限和右极限都存在且相等。

• 左极限：
  $$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$$
  表示当 $x$ 从左侧接近 $x_0$ 时，函数值的行为。
• 右极限：
  $$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$$
  表示当 $x$ 从右侧接近 $x_0$ 时，函数值的行为。

如果左极限和右极限均存在且相等，则我们可以说函数在该点的极限存在，即：
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \tox at position 11: \lim_{x \̲t̲o̲x̲_0^-} f(x) = \l…

左极限和右极限的概念帮助我们更精细地分析函数在某一点附近的行为，特别是当函数在该点存在跳跃、不连续或者震荡行为时，分别讨论从左右两边的逼近过程可以有效捕捉到极限的整体特性。

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第二部分：无穷小的概念与分类

在极限的研究中，无穷小是一个至关重要的概念。无穷小用于描述某一量在趋于某个特定点时，其值无限接近于零的情况。根据无穷小的相对变化速率，我们将无穷小分为高阶无穷小、同阶无穷小和低阶无穷小。

无穷小在数学分析中扮演了非常重要的角色。通过比较不同函数的无穷小性态，我们可以判断它们在某些点附近的变化特征，这对于求解极限、研究函数行为以及导数的定义等方面都有重要的应用。特别是高等数学中的导数的概念，实际上就是研究函数的增量与无穷小量之间的比值。

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2.1 无穷小的定义

当 $x\to x_0$ 时，如果函数 $f(x)\to 0$，则称 $f(x)$ 是无穷小。无穷小是极限的一种特定表现形式，主要用于描述函数在某点附近的趋近行为，即趋向零的程度。无穷小的概念在很多情况下都是相对的，两个无穷小之间的比较可以揭示它们的相对变化速率。

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2.2 无穷小的类型

无穷小可以根据其趋近零的速率分为高阶无穷小、同阶无穷小和低阶无穷小。

• 高阶无穷小：若对于两个无穷小 $f(x)$ 和 $g(x)$，当 $x\to x_0$ 时有
  $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=0$$

  则称 $f(x)$ 相对于 $g(x)$ 是高阶无穷小，这意味着 $f(x)$ 相比于 $g(x)$ 更快地趋向于零。高阶无穷小在极限计算中意味着该量的影响可以忽略不计，因为它相对于其他无穷小变化得更快。

• 同阶无穷小：若对于两个无穷小 $f(x)$ 和 $g(x)$，当 $x\to x_0$ 时有
  $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=C(C\ne 0)$$

  则称 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是同阶无穷小，意味着它们趋于零的速度相同。同阶无穷小之间的比较可以帮助我们理解函数的增长趋势是否一致，这在导数的定义中尤为重要。

• 低阶无穷小：若对于两个无穷小 $f(x)$ 和 $g(x)$，当 $x\to x_0$ 时有
  $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\infty$$

  则称 $f(x)$ 相对于 $g(x)$ 是低阶无穷小，表示 $f(x)$ 的趋近速度较 $g(x)$ 慢。低阶无穷小通常在计算极限时表现为某些项可以忽略，而较快收敛的项决定了极限值的行为。

• $k$ 阶无穷小：设 $f(x)$ 是 $x\to x_0$ 时的无穷小，如果存在常数 $C\ne 0$，使得

  $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{(x-x_0{)}^k}=C,$$

  则称 $f(x)$ 关于 $x-x_0$ 的 $k$ 阶无穷小。

  $k$ 阶无穷小是对无穷小相对变化速度的进一步精确描述，它可以帮助我们在处理极限问题时，准确地比较不同无穷小之间的收敛速度，并据此判断函数的行为。

这种无穷小的分类有助于更为精确地分析不同函数在趋近特定点时的行为，帮助我们在极限计算中更好地比较不同函数的变化速率。通过对无穷小的深入理解，我们可以更好地进行极限求解、函数逼近以及导数计算。

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第三部分：四则运算求极限

在极限计算中，四则运算 是最为基础且常用的计算工具之一。通过对函数部分进行加减乘除的运算，可以将复杂的极限问题转化为多个较为简单的部分，从而更容易进行求解。

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3.1 四则运算的基本规则

假设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，${\lim }_{x\to x_0}g(x)=B$，则有以下规则：

1. 加减法：
   $$\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$$
   加减运算的规则表明，只要两个函数的极限存在，它们的和或差的极限也存在，并且等于各自极限的和或差。

2. 乘法：
   $$\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x)\cdot g(x)]=A\cdot B$$
   乘法运算同样要求参与运算的每个函数的极限都存在，并且将它们的极限相乘即可得到结果。

3. 除法：
   $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$$

   除法运算要求分母的极限不为零，否则将出现未定式，需要进行进一步处理。

在应用这些规则时，需要注意的前提是每一个参与运算的函数部分都必须存在极限值，否则无法直接应用这些规则。例如，当出现未定式 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty }{\infty }$ 时，必须进一步化简或采用其他方法来处理。

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3.2 四则运算的具体例子

• 例如：
  $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2+3x+1}{x^2-x+2}$$

  可以通过提取分子和分母中的“主导项”来简化计算，得到：
  $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2}=1$$

  这意味着当 $x\to \infty$ 时，该分式的极限值为 1。

在极限运算中，理解四则运算的规则和未定式的处理至关重要。特别是当面对复杂函数的组合时，我们可以通过拆分成多个部分并逐步处理的方式来获得整体的极限结果。

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第四部分：抓大头法求极限

抓大头法，或称为主导项法，是一种非常直观且有效的求极限的方法，尤其适用于处理分式中分子和分母同时趋于无穷的情况。这种方法的核心思想是找出分子和分母中增长速度最快的项（即主导项），并通过主导项之间的比较来确定极限。

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4.1 抓大头法的适用条件

抓大头法通常适用于以下情况：

• 分子和分母均同时趋于无穷大（例如形如$\frac{\infty }{\infty }$的未定式）。
• 分子和分母均为多项式，且可以通过比较它们的最高次项来进行化简。

抓大头法之所以有效，是因为在变量趋于无穷大时，最高次幂的项占据主导地位，其他次低项相对而言变得可以忽略不计。因此，抓大头法通过将分子和分母的次要项舍去，只保留增长最快的项，极大地简化了极限的求解过程。

4.2 抓大头法的步骤

1. 提取主导项：在分子和分母中分别找出增长最快的项，即最高次幂的项。
2. 化简主导项比值：用分子和分母的主导项代替原式并进行简化。
3. 计算简化后的极限：通常，简化后会得到一个常数值或无穷大。

通过以上步骤，我们可以将复杂的极限问题转化为一个简单的代数比值问题，从而有效地计算极限。

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4.3 抓大头法的总结公式

对于如下分式：
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0}{b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_0}$$

其中：

• $n$ 为分子的最高次幂；
• $m$ 为分母的最高次幂。

可以得出以下结论：

1. 如果 $n=m$，则极限为最高次项系数的比值：
   $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_m}=\frac{a_n}{b_m}$$
   当分子和分母的最高次幂相同时，主导项的系数比即为极限值。

2. 如果 $n>m$，分子增长更快，极限趋于无穷：
   $$\underset{x\to \infty }{\lim }=\infty \text{或 }-\infty ,\text{取决于系数的符号}$$
   当分子的最高次幂高于分母时，分子的增长速度远远超过分母，因此整个分式的极限趋于无穷。

3. 如果 $n<m$，分母增长更快，极限趋于 0：
   $$\underset{x\to \infty }{\lim }=0$$
   当分母的最高次幂大于分子时，分母增长速度更快，因此整个分式的极限值趋于零。

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4.4 例题解析

• 例1：
  $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3x^4+5x^3}{2x^4-7}$$

  提取主导项 $3x^4$ 和 $2x^4$，然后化简：
  $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3x^4}{2x^4}=\frac{3}{2}$$

  答案：$\frac{3}{2}$。

• 例2：
  $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{5x^3+2x}{3x^5-x^2}$$

  提取主导项 $5x^3$ 和 $3x^5$，然后化简：
  $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{5x^3}{3x^5}=\frac{5}{3x^2}\to 0$$

  答案： $0$。

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例 7 求下列各函数的极限

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(1)

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2+x+1}{x^2+2}$$

解：

使用抓大头法，提取分子和分母中最高次项：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2}=1$$

答案：
$$1$$

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(2)

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3x^2+4x+1}{x^3-2x-1}$$

解：

提取主导项 (3x^2) 和 (x^3)，化简后得到：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3x^2}{x^3}=\frac{3}{x}\to 0$$

答案：
$$0$$

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(3)

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2+4x+1}{x+2}$$

解：

提取主导项：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }x=\infty$$

答案：
$$\infty$$

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例 8 求下列各函数的极限

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(1)

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{(x^4+2)(2x^2+x+3{)}^3}{(x+1{)}^{10}}$$

解：

使用抓大头法，提取分子和分母中最高次项：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^4\cdot 8x^6}{x^{10}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{8x^{10}}{x^{10}}=8$$

答案：
$$8$$

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(2)

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+x+1}+x}{\sqrt[3]{8x^3-x-1}}$$

解：

提取主导项，分子部分提取 (x)，分母部分提取 (\sqrt[3]{x^3})：

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+x+1}+x}{\sqrt[3]{8x^3-x-1}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+x}{2x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x}{2x}=1$$

答案：

$$1$$

小结

• 
  本节课学习了极限：趋于一个点的极限是无限接近一个值，某点处的极限值与某点处的函数值没有必然联系。有极限等价于函数左右极限存在且相等。一个函数在该点存在极限A，表明该点的左极限等于右极限，且都等于A。无穷小：四种无穷小概念。四则运算：四则运算求极限的前提是运算的每部分都有极限。抓大头：当一个分式的分子分母都趋于无穷大的时候，可以通过对比上下分子分母趋于无穷大的快慢来判断极限。

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