Codeforces Round 951 (Div. 2) F. Kostyanych‘s Theorem（思维题 交互好题）

题目

交互题，n（n<=1e5）个点的完全图，无向的，初始恰好删了n-2条边

每次询问可以输入一个d：? d

交互器会输出一个当前度>=d的点v，

如果有多个这样的点，输出度最小的，如果还有多个，输出点号最小的

还会输出一个和这个点v当前没有连边的点x，如果x有多个，也输出点号最小的x

如果x不存在，输出x=0

然后交互器会把v这个点和当前连的所有边都删了，

如果没有找到这样的v，交互器输出0 0

最多n次询问后，你需要在「原图」中找到一条哈密顿路径（即一条路径恰访问每个点一次）

按顺序输出哈密顿路径

思路来源

Starsilk Cerulean 稲葉廻

题解

首先要想到问n-2，

问小于n-2肯定是不行的，这样你移除一个点，再也得不到它的信息

但是你只知道它和其中一个点不连接，不知道它另一个不连接的是谁，这样会缺信息

而一直问n-1显然肯定不行，这样会导致剩下的删边越来越多，最后剩下一堆小于n-2的

所以说就问n-2，根据交互器返回的第二维是不是0，

判断当前是n-2还是n-1，n-2时还能知道唯一不连接的是哪个

递归，数学归纳法思想，让剩下来的n个点的图还满足最多去掉n-2条边这个条件

1. 如果问出来的是n-2，显然删掉这个点的子图还满足这个条件，递归子图

2. 如果问出来的是n-1，n-1可以和子图内的点任意连，插入到任何地方，

再选取一个度数最小的点，去掉这两个点后又可以继续递归子图

也就是说，要么一次用到一条删边机会，要么两次用到>=两条删边机会，

使得剩下的x个点图余下的被删掉边的条数<=x-2
 

严格边数证明可以参考cf，这里可以感性理解一下图的密度（边平均度）

证明完边数之后，就是维护一个双端队列，

1. 不超过2个点，又没有边，直接放即可

2. n-2个点的，只有一条边不能连，判断一下不能和队首连就放到队尾，反之亦然

3. n-1个点的充当媒介，连接当前队尾和当前度最小的点

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define per(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef pair<int,int> P;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define dbg(x) cerr<<(#x)<<":"<<x<<" ";
#define dbg2(x) cerr<<(#x)<<":"<<x<<endl;
#define SZ(a) (int)(a.size())
#define sci(a) scanf("%d",&(a))
#define pt(a) printf("%d",a);
#define pte(a) printf("%d\n",a)
#define ptlle(a) printf("%lld\n",a)
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
using namespace std;
typedef long long ll;
deque<int>q;
int t,n;
P ask(int d){
    printf("? %d\n",d);
    fflush(stdout);
    int x,y;
    scanf("%d %d",&x,&y);
    return P(x,y);
}
void sol(int n){
    if(n<=2){
        rep(i,1,n){
            q.push_back(ask(0).fi);
        }
        return;
    }
    auto [x,y]=ask(n-2);
    // 要么一次用到一条删边机会，要么两次用到>=两条删边机会，保持图密度不降
    if(y){
        sol(n-1);
        if(q.front()==y)q.push_back(x);
        else q.push_front(x);
    }
    else{
        auto [y,z]=ask(0);
        sol(n-2);
        q.push_back(x);//x都能连
        q.push_back(y);
    }
}
void out(){
    printf("!");
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();
        q.pop_front();
        printf(" %d",x);
    }
    printf("\n");
    fflush(stdout);
}
int main(){
    sci(t);
    while(t--){
        sci(n);
        q.clear();
        sol(n);
        out();
    }
	return 0;
}