1952年,DUFFIN在研究非调和Fourier级数时引入了Hilbert空间中框架的概念,然而并没有引起很大的反响。1986年,DAUBECHIES研究发现利用框架可以将L2(R)中的函数展开成类似标准正交基的级数,并且用框架研究函数时所需的条件要比用标准正交基宽松的多。因此,框架理论才开始蓬勃发展起来。在框架理论研究中,框架扰动是一个活跃的研究方向,它主要研究的是两个序列,若其中一个是框架,当另外一个序列与这个框架满足何种“接近”时,该序列也构成一个框架。研究某一Hilbert空间上具有特殊结构形式的框架是框架研究中一种重要的研究类型。

小波型框架就是一种具有特殊结构形式的框架,其思想来源于小波理论。在小波理论中,一组基是由Hilbert空间H中的一个可数酉算子族和一个(或有限个)向量构成的。如果UH上的一个酉算子,Ψ是与之对应的母小波,那么UΨ就是H的一组标准正交基,小波理论中研究的基就是这种形式。

鉴于此,采用小波样条框架方法对一维时间序列信号进行降噪,运行环境为MATLAB R2018A,测试信号为转子振动信号,发动机气门正常振动信号,发动机进气门故障振动信号,发动机排气门故障振动信号,发动机销子活塞故障振动信号,发动机曲轴磨损故障振动信号。

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%% Load and visualize the signal
clc;clear
load ekgTrend.mat
helperTimeDomain(t,ekg_Trend,'EKG Signal',60,'r');
%% Decompose signal into 8 subbands
w = modwt(ekg_Trend,8);
%% Multiresolution view of signal
mra1 = modwtmra(w);
approxRecon = mra1(9,:);

viewLevel8Approximation(t,ekg_Trend,approxRecon);
%% Visualize approximation subbands for level 9 and level 10
viewApproximationSubbandReconstruction(t,ekg_Trend);
%% Isolate and visualize the trend
isolateTrendPlot(t,ekg_Trend);
%% Remove the trend component from the signal
coeffs = modwt(ekg_Trend,10); 
coeffs(11,:) = 0;          %setting approximation coefficients at level 10 to zero
sigOut = imodwt(coeffs);
完整代码可通过知乎学术咨询获得:https://www.zhihu.com/consult/people/792359672131756032?isMe=1
viewDetrendedSignal(t,ekg_Trend,sigOut)

工学博士,担任《Mechanical System and Signal Processing》《中国电机工程学报》《控制与决策》等期刊审稿专家,擅长领域:现代信号处理,机器学习,深度学习,数字孪生,时间序列分析,设备缺陷检测、设备异常检测、设备智能故障诊断与健康管理PHM等。

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