数据结构初阶 · 链式二叉树的部分问题

目录

前言：

1 链式二叉树的创建

2 前序 中序 后序遍历

3 树的节点个数

4 树的高度

5 树的叶子节点个数

6 树的第K层节点个数

前言：

链式二叉树我们在C语言阶段已经实现了，这里介绍的是涉及到的部分问题，比如求树的高度，求树的节点个数等，连接部分就手动连接，用一个样例来介绍涉及到的几个问题。

这里对前面知识反馈比较大的是递归，可以说每个问题都用到了递归。

1 链式二叉树的创建

因为是链式二叉树，所以有两个指针，分别指向右孩子节点和左孩子节点，给上值，手动连接即可：

typedef struct TreeNode
{
	struct TreeNode* left = NULL;
	struct TreeNode* right = NULL;
	int data;
}TreeNode;

TreeNode* Tree()
{

	TreeNode* node1 = new TreeNode;
	TreeNode* node2 = new TreeNode;
	TreeNode* node3 = new TreeNode;
	TreeNode* node4 = new TreeNode;
	TreeNode* node5 = new TreeNode;
	TreeNode* node6 = new TreeNode;
	//TreeNode* node7 = new TreeNode;

	node1->data = 1;
	node2->data = 2;
	node3->data = 3;
	node4->data = 4;
	node5->data = 5;
	node6->data = 6;
	//node7->data = 7;

	node1->left = node2;
	node1->right = node4;
	node2->left = node3;
	node4->left = node5;
	node4->right = node6;
	//node5->left = node7;
	return node1;
}

整体构建出来就是这样，对于初学链式二叉树的同学来说，NULL给上是很有必要的，这对于后面的遍历问题有帮助。

2 前序 中序 后序遍历

前序遍历的顺序是 根 左子树 右子树，中序遍历的的顺序是左子树 根 右子树 ，后序遍历的顺序是左子树，右子树，根。

咱们从前序开始，顺便进行打印，从1开始，到左子树是2，2的左子树是3，3是左子树是NULL，再往下就没了，递归回来是3的右子树，那么此时2的左子树就遍历完成了，2的右子树是NULL，这时候1的左子树就遍历完了，然后是右子树，到4，然后是4的左子树5，接着是5的左右子树，这时4的左子树就遍历完了，然后是右子树，当6遍历完了之后，才是整个树都遍历完了。

那么代码会不会很复杂呢？

不会，递归都有一个特点，思路难想，代码简单：

void PrevOrder(TreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		cout << "N ";
		return;
	}
	cout << root->data << " ";
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}

这就遍历完了。

打印的结果是1 2 3 N N N 4 5 N N 6 N N，那么为了加强理解我们可以这样看：

3 N N N是2的左右子树，5 N N 6 N N是4的左右子树，2 4 是1 的左右子树，这样结合起来就好理解多了。

那么对于中序后序来说都是一样的，这里给代码，就不重复演示了：

void InOrder(TreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		cout << "N ";
		return;
	}
	InOrder(root->left);
	cout << root->data << " ";
	InOrder(root->right);
}

void BackOrder(TreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		cout << "N ";
		return;
	}
	BackOrder(root->left);
	BackOrder(root->right);
	cout << root->data << " ";
}

3 树的节点个数

树的节点个数问题，使用的是分而治之的思想，比如一个院，要统计有多少人，那么院长就发号司令，副院长去问班主任，班主任去问辅导员，辅导员去问班长，然后加上自己，最后就可以得到总总共的人数。

树的节点个数是一样的，求总节点个数，我们可以把树分为左右子树，把一个树拆分成无数的左右子树，统计每个左右子树的节点个数，相加即可。

代码实现：

size_t TreeSize(TreeNode* root)
{
	return root == NULL? 0 : 
		TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

是的，代码就这么简单，这里给上递归展示图看看：

这里递归的是1的右子树。

4 树的高度

树的高度同理，我们可以理解为两个院的人比最高的，树的高度即我们同理，返回左右子树高度最高的即可，因为一个节点本身就算1，所以返回高度的时候需要加1，返回的条件就是节点为空，为空就返回0：

size_t TreeHeightError(TreeNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 : 
		TreeHeight(root->left) > TreeHeight(root->right) ?
		TreeHeight(root->left) + 1 : TreeHeight(root->right) + 1;
}

以上代码看起来是没问题的，100个样例能跑过90的样例，但是数据量一多就会崩盘，因为这里没有记录左右子树的高度，也就是说会重复计算，这里不要小看重复计算，没有记录那么所有的计算都会翻二倍，而每一层都没有记录，所有越往层数多的走，就会变成2^n的重复计算，是指数量级的增长，所以我们应该记录数据：

size_t TreeHeight(TreeNode* root)
{
	if (root == NULL)	{
		return 0;
	}
	size_t leftHeight = TreeHeight(root->left);
	size_t rightHeight = TreeHeight(root->right);
	return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}

5 树的叶子节点个数

叶子节点即没有孩子节点的孩子，那么返回1的条件就是左右孩子都为空，如果不为空往下遍历就ok了：

size_t TreeLeaf(TreeNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
	{
		return 1;
	}
	return TreeLeaf(root->left) + TreeLeaf(root->right);
}

6 树的第K层节点个数

这是本文最难的一个问题了，该问题的子问题是：

空节点的时候返回0，k = 1的时候返回1，K > 1的时候遍历即可，个人认为k - 1是这个问题的关键所在：

size_t TreeNodeK(TreeNode* root,size_t k)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	if (k == 1)
	{
		return 1;
	}
	return TreeNodeK(root->left, k - 1) +
		TreeNodeK(root->right, k - 1);
}

因为遍历是从根节点开始遍历的，所以减到k = 1的时候，是涉及到的那层，对该层进行判断，这是存在一个顺序问题，root == NULL应该在k == 1之前，因为递归到那一层，k = 1是铁定的，这时候就需要先判断是不是空节点，不是空节点再讨论K= 1的问题。

以上所有问题的测试代码：

int main()
{
	TreeNode* node = Tree();
	size_t k = 2;
	//前序遍历
	PrevOrder(node);
	cout << endl;
	//中序遍历
	InOrder(node);
	cout << endl;
	//后序遍历
	BackOrder(node);
	cout << endl;
	//树的节点个数
	cout << "The Tree's size is:" << 
		TreeSize(node) << endl;
	//树的高度
	cout << "The Tree's Height is:" <<
		TreeHeightError(node) << endl;
	//树的叶子节点个数
	cout << "The Tree's leaf is:" <<
		TreeLeaf(node) << endl;
	//树的第K层节点个数
	cout << "The Tree's leaf about K is:" <<
		TreeNodeK(node,k) << endl;

	return 0;
}

感谢阅读！