目录

一.概念与性质

二.基本操作

1.建树

2.插入

情况一

情况二

3.查找

4.验证

三.红黑树与AVL树的比较


一.概念与性质

红黑树,是一种二叉搜索树,但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色,可以是Red或 Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制,红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍,因而是接近平衡的。

红黑树的性质:

  1.  每个结点不是红色就是黑色
  2.  根节点是黑色的 
  3. 如果一个节点是红色的,则它的两个孩子结点是黑色的
  4. 对于每个结点,从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上,均包含相同数目的黑色结点 
  5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

注意:

1.我们平时所说的叶子节点指的是没有子节点的节点,但在红黑树中,叶子节点指的是空节点,即图中NIL节点。这样有助于红黑树的效率与维护,但在简单实现中,其体现感不强。

2.红黑树中不能有连续的红色节点,但可以有连续的黑色节点

3.红黑树最坏情况下最长路径是最短路径的两倍。由性质3、4决定,最长路径为黑-红-黑交替,最短路径为全黑。

二.基本操作

1.建树

树的节点跟树的建立跟二叉搜索树与AVL树相近, 但需要添加颜色标记,采用枚举体。

注意:插入的节点应该是红色的因为如果插入黑色节点,一定会违反性质4,但如果插入红色节点,只可能会违反性质3(红色节点下连接了一个新的红色节点)。因此,应选择默认插入红色节点,减少修改次数。

enum Colour
{
	RED,   //0
	BLACK  //1
};

//RBTree树节点
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	Colour _col;

	//键值对
	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		// 新插入节点默认红的
		//因为插入红节点可能违反规则三,但插入黑节点一定违反规则四
		, _col(RED)
	{ }
};

template<class K, class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:

private:
	Node* _root = nullptr;
};


2.插入

红黑树的插入方式与AVL树相似,即按照大小走到底部,找到插入位置,插入后自下而上维护颜色性质即可

关键在于如何在插入后进行调整:

当新插入的节点的父节点是黑色的,没有违反红黑树任意一条性质,不需要改动;当新插入的节点的父节点是红色的,违反了性质三,即不能有连续的红节点,此时需分情况讨论。

约定:cur为当前节点,p为父节点,g为祖父节点,u为叔叔节点

注意:以下图解均为叔叔在祖父的右边,代码中给出了全部情况

情况一

cur为红,p为红,g为黑,u存在且为红

       

对此,可以将抽象子树a, b, c, d的高度按h = 0,h = 1举例,当h > 2后的种类很多,不再展示,0和1对于规律的推出已经足够。

h = 0时

h = 1时

由此,我们得出规律:当cur为红,p为红,g为黑,u存在且为红时:将p,u改为黑,g改为红。如果g的父节点存在且为红,则继续向上调整,否则停止。若根节点变红了,则要把其调整回黑色。

代码:

	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				// 相等不插入
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;

		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		// 别忘记指向父亲
		cur->_parent = parent;
		

		// 往上更新  如果父亲的颜色是黑色就停止
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			// 关键看叔叔
			Node* grandfather = parent->_parent;


			//如果叔叔在右边
			if (parent == grandfather->_left)
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;
				//叔叔存在且为红, 往上变色
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续往上
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				
			
			}
			else//叔叔在左边
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;

				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				

			}
			
		}

		// 如果根节点变红了 设回黑
		_root->_col = BLACK;
		return true;
		
	}

情况二

cur为红,p为红,g为黑,u不存在/u为黑

依旧是选取h=0 和 h = 1时举例:

h = 0,u不存在时

h = 1,u存在时,两种情况

因为在旋转时不对颜色进行处理,所以u不存在时和u为黑归为一类,所以当cur为红,p为红,g为黑,u不存在/u为黑且u在其祖父节点的右边时:若cur在p的左边,则进行右单旋将p变为黑,g变为红;若cur在p的右边,则先进行左单选,再进行右单旋,将cur变为黑,g变为红。

注意:只要进行了上述两种带旋转的操作,涉及到的节点的最上端祖先一定变为了黑色,无需再向上调整。

插入完整代码:

	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				// 相等不插入
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;

		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		// 别忘记指向父亲
		cur->_parent = parent;
		

		// 往上更新  如果父亲的颜色是黑色就停止
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			// 关键看叔叔
			Node* grandfather = parent->_parent;


			//如果叔叔在右边
			if (parent == grandfather->_left)
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;
				//叔叔存在且为红, 往上变色
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续往上
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				// 叔叔不存在或者存在且为黑
				else
				{
					if(cur == parent->_left)
					{
						//     g  
						//   p   u
						// c 

						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						//    g
						// p     u
						//    c
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						//cur去了g的位置  g去了u的位置
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
						
					}
					//根一定是黑色的
					break;
				}
			}
			else//叔叔在左边
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;

				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else // 叔叔不存在,或者存在且为黑
				{
					//    g
					// u     p
					//          c
					if (cur == parent->_right)
					{
						RotateL(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						//    g
						// u     p
						//    c
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}

					break;
				}

			}
			
		}

		// 如果根节点变红了 设回黑
		_root->_col = BLACK;
		return true;
		
	}


	//右旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		// 要更改六条边
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		// 先处理parent和SubLR
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		//再处理parent和 subl
		//因为 后面需要把 parent的parent和subl链接
		//需要先保存parent的parent
		subL->_right = parent;
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;

		//处理 subl的 父节点
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}

			subL->_parent = ppNode;
		}

	}
	//左旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		subR->_left = parent;
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppNode;
		}
	}
	

3.查找

与二叉搜索树,AVL树一致,从上往下按大小走即可。

Node* Find(const K& key)
{
    Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return cur;
		}
	}
	return nullptr;
}

4.验证

红黑树的检验主要在两个方面:

1.其中序遍历是否为有序(二叉搜索树的性质)

2.是否满足红黑树的性质

关于性质4,我们可以先预处理一条路径的黑色节点数,再中序遍历时判断是否相等即可。

public:

void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	bool IsBalance()
	{
		if (_root->_col == RED)
		{
			return false;
		}

		int refNum = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
			{
				++refNum;
			}

			cur = cur->_left;
		}

		return _Check(_root, 0, refNum);
	}

	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

	int Size()
	{
		return _Size(_root);
	}

private:

	int _Size(Node* root)
	{
		return root == nullptr ? 0 : _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;
	}

	bool _Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			//cout << blackNum << endl;
			if (refNum != blackNum)
			{
				cout << "存在黑色节点的数量不相等的路径" << endl;
				return false;
			}

			return true;
		}

		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << root->_kv.first << "存在连续的红色节点" << endl;
			return false;
		}

		if (root->_col == BLACK)
		{
			blackNum++;
		}

		return _Check(root->_left, blackNum, refNum)
			&& _Check(root->_right, blackNum, refNum);
	}


	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

三.红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树,增删改查的时间复杂度都是O(log2 N),红黑树不追 求绝对平衡,其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍,相对而言,降低了插入和旋转的次数, 所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优,而且红黑树实现比较简单,所以实际运用中红 黑树更多。

点赞(0) 打赏

评论列表 共有 0 条评论

暂无评论

微信公众账号

微信扫一扫加关注

发表
评论
返回
顶部