红黑树的基本原理

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一.概念与性质

二.基本操作

一.概念与性质

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或 Black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

红黑树的性质：

每个结点不是红色就是黑色
根节点是黑色的
如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

注意：

1.我们平时所说的叶子节点指的是没有子节点的节点，但在红黑树中，叶子节点指的是空节点，即图中NIL节点。这样有助于红黑树的效率与维护，但在简单实现中，其体现感不强。

2.红黑树中不能有连续的红色节点，但可以有连续的黑色节点。

3.红黑树最坏情况下最长路径是最短路径的两倍。由性质3、4决定，最长路径为黑-红-黑交替，最短路径为全黑。

二.基本操作

1.建树

树的节点跟树的建立跟二叉搜索树与AVL树相近，但需要添加颜色标记，采用枚举体。

注意：新插入的节点应该是红色的，因为如果插入黑色节点，一定会违反性质4，但如果插入红色节点，只可能会违反性质3(红色节点下连接了一个新的红色节点)。因此，应选择默认插入红色节点，减少修改次数。

enum Colour
{
	RED,   //0
	BLACK  //1
};

//RBTree树节点
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	Colour _col;

	//键值对
	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		// 新插入节点默认红的
		//因为插入红节点可能违反规则三，但插入黑节点一定违反规则四
		, _col(RED)
	{ }
};

template<class K, class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:

private:
	Node* _root = nullptr;
};

2.插入

红黑树的插入方式与AVL树相似，即按照大小走到底部，找到插入位置，插入后自下而上维护颜色性质即可。

关键在于如何在插入后进行调整：

当新插入的节点的父节点是黑色的，没有违反红黑树任意一条性质，不需要改动;当新插入的节点的父节点是红色的，违反了性质三，即不能有连续的红节点，此时需分情况讨论。

约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

注意：以下图解均为叔叔在祖父的右边，代码中给出了全部情况

情况一

cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

对此，可以将抽象子树a, b, c, d的高度按h = 0，h = 1举例，当h > 2后的种类很多，不再展示，0和1对于规律的推出已经足够。

h = 0时

h = 1时

由此，我们得出规律：当cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红时：将p，u改为黑，g改为红。如果g的父节点存在且为红，则继续向上调整，否则停止。若根节点变红了，则要把其调整回黑色。

代码：

	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				// 相等不插入
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;

		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		// 别忘记指向父亲
		cur->_parent = parent;
		

		// 往上更新  如果父亲的颜色是黑色就停止
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			// 关键看叔叔
			Node* grandfather = parent->_parent;


			//如果叔叔在右边
			if (parent == grandfather->_left)
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;
				//叔叔存在且为红， 往上变色
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续往上
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				
			
			}
			else//叔叔在左边
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;

				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				

			}
			
		}

		// 如果根节点变红了 设回黑
		_root->_col = BLACK;
		return true;
		
	}

情况二

cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u为黑

依旧是选取h=0 和 h = 1时举例：

h = 0，u不存在时

h = 1，u存在时，两种情况

因为在旋转时不对颜色进行处理，所以u不存在时和u为黑归为一类，所以当cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u为黑且u在其祖父节点的右边时：若cur在p的左边，则进行右单旋将p变为黑，g变为红；若cur在p的右边，则先进行左单选，再进行右单旋，将cur变为黑，g变为红。

注意：只要进行了上述两种带旋转的操作，涉及到的节点的最上端祖先一定变为了黑色，无需再向上调整。

插入完整代码：

	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				// 相等不插入
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;

		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		// 别忘记指向父亲
		cur->_parent = parent;
		

		// 往上更新  如果父亲的颜色是黑色就停止
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			// 关键看叔叔
			Node* grandfather = parent->_parent;


			//如果叔叔在右边
			if (parent == grandfather->_left)
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;
				//叔叔存在且为红， 往上变色
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续往上
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				// 叔叔不存在或者存在且为黑
				else
				{
					if(cur == parent->_left)
					{
						//     g  
						//   p   u
						// c 

						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						//    g
						// p     u
						//    c
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						//cur去了g的位置  g去了u的位置
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
						
					}
					//根一定是黑色的
					break;
				}
			}
			else//叔叔在左边
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;

				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else // 叔叔不存在，或者存在且为黑
				{
					//    g
					// u     p
					//          c
					if (cur == parent->_right)
					{
						RotateL(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						//    g
						// u     p
						//    c
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}

					break;
				}

			}
			
		}

		// 如果根节点变红了 设回黑
		_root->_col = BLACK;
		return true;
		
	}


	//右旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		// 要更改六条边
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		// 先处理parent和SubLR
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		//再处理parent和 subl
		//因为 后面需要把 parent的parent和subl链接
		//需要先保存parent的parent
		subL->_right = parent;
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;

		//处理 subl的 父节点
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}

			subL->_parent = ppNode;
		}

	}
	//左旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		subR->_left = parent;
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppNode;
		}
	}

3.查找

与二叉搜索树，AVL树一致，从上往下按大小走即可。

Node* Find(const K& key)
{
    Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return cur;
		}
	}
	return nullptr;
}

4.验证

红黑树的检验主要在两个方面：

1.其中序遍历是否为有序(二叉搜索树的性质)

2.是否满足红黑树的性质

关于性质4，我们可以先预处理一条路径的黑色节点数，再中序遍历时判断是否相等即可。

public:

void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	bool IsBalance()
	{
		if (_root->_col == RED)
		{
			return false;
		}

		int refNum = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
			{
				++refNum;
			}

			cur = cur->_left;
		}

		return _Check(_root, 0, refNum);
	}

	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

	int Size()
	{
		return _Size(_root);
	}

private:

	int _Size(Node* root)
	{
		return root == nullptr ? 0 : _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;
	}

	bool _Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			//cout << blackNum << endl;
			if (refNum != blackNum)
			{
				cout << "存在黑色节点的数量不相等的路径" << endl;
				return false;
			}

			return true;
		}

		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << root->_kv.first << "存在连续的红色节点" << endl;
			return false;
		}

		if (root->_col == BLACK)
		{
			blackNum++;
		}

		return _Check(root->_left, blackNum, refNum)
			&& _Check(root->_right, blackNum, refNum);
	}


	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

三.红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O(log2 N)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

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1.建树

2.插入

情况一

情况二

3.查找

4.验证

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