基于小波集的时频超分辨率分析方法（MATLAB 2018）

Fourier变换曾长时间地统治了信号处理领域，它揭示了时间函数与频谱函数之间的内在联系，反映了信号在整个时间范围内的“全部”频谱成分，是研究周期现象必不可少的工具。所得频率域中的变换信号完全不能分辨其空间位置信息，迫使人们进一步地寻找具有更好时频分辨能力的新数学工具。

小波变换是一种理论上更加完善、形式上更加完美的数学工具。它以牺牲部分频域定位性能来取得时频局部性的折中，能同时提供较精确的时域和频域定位。与Fourier分析的本质区别在于：Fourier分析只考虑时域和频域之间的一对一的映射，它以单个变量（时间或频率）的函数表示信号。理论上，Fourier分析可以十分精确地表示不同波数/频率的信号特征，然而在频率域中却不能体现任何时间/位置信息，为了研究一个信号的频谱特性，必须获得信号在时域中的全部信息。另外如果一个信号在时域中的某个时刻的一个小邻域中发生了变化，那么整个频谱就要受到影响。小波分析则利用联合时间-尺度函数分析非平稳信号。与时频分析的区别在于：时频分析在时频平面上表示非平稳信号，小波分析描述非平稳信号虽然也在二维平面上，但不是在时频平面上，而是在所谓的时间-尺度平面上。在小波分析中，人们可以在不同尺度上观察信号，这种对信号分析的多尺度观点，是小波分析的基本特征。小波分析同时具有时间和频率分辨的能力，信号可以被小波函数分解到不同的频带，对于高频信号则用频率域支撑较窄而时间域支撑较宽的小波基函数，低频信号则用频率域支撑较宽而时间域支撑较窄的小波基函数，因此小波变换又被誉为“数学显微镜”。它可以对图像信号进行稀疏表示，这就是小波变换成功用于图像压缩的根本原因。

小波变换是由法国地质物理学家Morlet于1984年提出的，后来与法国理论物理学家Grossmann共同研究小波理论，建立了完整的连续小波变换的几何体系，其基础是平移和伸缩变换下的不变性。1985年，法国数学家Meyer首次提出光滑的正交小波基，称为Meyer基。1986年，Meyer及其学生Lemarie提出了多尺度分析的思想。1988年，Daubechies利用多尺度思想构造出具有紧支集的正交小波基。1988年Mallat将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中，提出多分辨分析的概念，从尺度函数出发构造出了正交小波基，为此前各种小波基的构造建立了统一的框架。另外将离散小波变换与Daubechies紧支正交小波相结合提出了Mallat塔式分解算法，为离散小波变换建立了快速算法。Mallat算法的作用和地位相当于Fourier分析中的FFT算法。Mallat算法宣告了小波分析从理论研究阶段走向应用研究阶段。

从小波概念的提出到现在不到二十年的时间中，小波变换不仅在理论和方法上取得了突破性的进展，而且在信号分析与图像处理、数据压缩、计算机视觉、语音合成与分析等诸多领域得到了广泛的应用，取得了令人瞩目的成就。一方面，小波理论的研究在不断深入，人们利用各种方法构造具有所需性质和不同应用环境需要的小波基。例如多小波、多维小波、M带小波、小波包、第二代提升小波等；另一方面，小波的应用领域以及小波与其它学科的交叉也在不断的发展。

鉴于此，采用基于小波集的时频超分辨率分析方法对一维时间序列信号进行时频变换，运行环境为MATLAB 2018。

vfTarget =         [20, 40, 60];  %target frequencies
vfNeighbF=         [30, 50, 70];  %neighboring frequencies
nFreqs =          numel(vfTarget);
nWaveCycles =        11;
nTNeighbSpacingInBursts=  1 + 2/nWaveCycles;
bTNeighbRelativeSpacing =  true;
nPacketSpacinginBursts =  1/nWaveCycles;
nPackets =         2;
完整代码可通过知乎学术咨询获得：https://www.zhihu.com/consult/people/792359672131756032?isMe=1
nPreSpaceS =        0.25.

工学博士，担任《Mechanical System and Signal Processing》《中国电机工程学报》《控制与决策》等期刊审稿专家，擅长领域：现代信号处理，机器学习，深度学习，数字孪生，时间序列分析，设备缺陷检测、设备异常检测、设备智能故障诊断与健康管理PHM等。