数学建模基础：线性模型

目录

前言

一、线性方程组

二、线性规划

三、线性回归

四、线性模型的应用

五、实例示范：医疗成本预测

步骤 1：导入数据

步骤 2：数据预处理

步骤 3：建立多元线性回归模型

步骤 4：模型验证

步骤 5：模型应用

六、总结

---

前言

线性模型是数学建模中常见且重要的一类模型。它通过线性方程描述变量之间的关系，广泛应用于工程、经济、统计和科学研究等多个领域。本文将详细介绍线性模型的不同类型、原理、求解方法及其在实际问题中的应用。

一、线性方程组

线性方程组是描述多个变量之间线性关系的方程组，其标准形式为：

 

其中， 是系数矩阵， 是未知变量向量， 是已知常数向量。我们可以使用 Matlab 提供的 linsolve 或者反斜杠运算符 \ 来求解线性方程组。

1. 求解线性方程组
   • 假设我们有以下线性方程组：

    A = [2, 3; 4, 6];
    b = [5; 10];
    x = linsolve(A, b);
    % 或者使用反斜杠运算符
    x = A \ b;

由于方程组具有无穷多解，求解结果会是一个表达无需变量形式的通解。为了更直观地表达，通常建立在不同具体病例的基础上讨论。

以下表格总结了求解线性方程组的常用方法

方法	示例	说明
linsolve	x = linsolve(A, b);	使用 linsolve 函数求解
反斜杠运算符	x = A \ b;	使用反斜杠运算符求解

二、线性规划

线性规划是一类优化问题，目标是在约束条件下最大化或最小化线性目标函数，广泛应用于资源分配、生产计划等领域。

1. 建立线性规划模型
   • 假设某公司生产两种产品，每种产品的利润分别为 5 和 3，材质消耗分别为 2 和 1。公司的目标是最大化利润，约束条件为总材质消耗不超过 10。

    f = [-5; -3];  % 目标函数系数（求最大化时取负号）
    A = [2, 1];    % 约束条件矩阵
    b = [10];      % 约束值
    lb = [0; 0];   % 变量下界（大于等于 0）
    [x, fval] = linprog(f, A, b, [], [], lb, []);  % 使用 linprog 函数求解

以下表格总结了线性规划问题的求解方法：

方法	示例	说明
linprog	x = linprog(f, A, b, ...);	使用 linprog 函数求解

三、线性回归

线性回归用于描述自变量与因变量之间的线性关系，广泛应用于数据预测和分析。其数学形式为：

 

其中， 为因变量， 为自变量， 和  为待估参数， 为误差项。

1. 简单线性回归
   • 假设我们有一组数据，描述广告费用与销售额之间的关系，用线性回归模型来预测销售额。

    x = [23, 26, 30, 34, 43, 48, 52, 57, 58]';  % 广告费用
    y = [651, 762, 856, 1063, 1190, 1298, 1421, 1440, 1518]';  % 销售额
    model = fitlm(x, y);
    disp(model);

1. 多元线性回归
   • 假设我们有多组自变量数据，用多元线性回归模型来预测因变量。

    X = [1, 2; 2, 3; 3, 4; 4, 5];
    y = [2.2; 2.8; 3.6; 4.5];
    b = regress(y, X);

以下表格总结了线性回归问题的求解方法：

方法	示例	说明
fitlm	model = fitlm(x, y);	使用 fitlm 函数进行线性回归
regress	b = regress(y, X);	使用 regress 函数进行多元线性回归

四、线性模型的应用

线性模型在实际应用中发挥了重要作用，以下是几个典型应用示例：

1. 生产计划
   • 线性模型可以优化生产计划，提高资源利用率，降低生产成本。

    % 生产计划问题 示例
    f = [-20; -30];  % 目标函数：利润最大化
    A = [2, 1; 1, 2];  % 约束条件：原材料
    b = [100; 150];  % 约束值
    lb = [0; 0];  % 变量下界
    [x, fval] = linprog(f, A, b, [], [], lb, []);  % 求解线性规划问题

1. 投资组合优化
   • 线性模型在金融领域被广泛用于投资组合优化，最大化收益或最小化风险。

    % 投资组合优化问题 示例
    f = [-0.1; -0.2; -0.15];  % 目标函数：收益最大化
    A = [1, 1, 1; 0.1, 0.2, 0.15];  % 约束条件：总投资、风险
    b = [1; 0.15];  % 约束值
    lb = [0; 0; 0];  % 变量下界
    [x, fval] = linprog(f, A, b, [], [], lb, []);  % 求解线性规划问题

1. 经济预测
   • 线性回归模型用于经济数据预测，通过分析历史数据，预测未来趋势。

    % 经济预测 示例
    GDP = [1, 2, 3, 4, 5]';  % 自变量：历史GDP
    CPI = [100, 102, 104, 106, 108]';  % 因变量：历史CPI
    model = fitlm(GDP, CPI);  % 建立线性回归模型
    GDP_fut = [6, 7];  % 未来GDP值
    CPI_pred = predict(model, GDP_fut');  % 预测未来CPI

以下表格总结了线性模型的应用领域：

应用领域	说明	示例
生产计划	优化生产计划，提高资源利用率，降低成本	linprog 求解生产计划问题
投资组合优化	优化投资组合，最大化收益或最小化风险	linprog 求解投资组合问题
经济预测	分析历史数据，预测未来经济趋势	fitlm 建立线性回归模型

五、实例示范：医疗成本预测

为了更好地理解线性模型，我们通过一个实例展示如何建立和应用线性回归模型进行医疗成本预测。假设我们有一组数据，包括病人的年龄、体重和医疗成本。我们的任务是建立一个多元线性回归模型来预测医疗成本。

步骤 1：导入数据

假设数据存储在一个 CSV 文件 health_costs.csv 中，内容如下：

Age,Weight,Cost
25,80,3000
30,85,3200
35,90,4000
40,95,4500
45,100,5000
50,105,5500
55,110,6000
60,115,6500
65,120,7000

% 导入数据到表格
data = readtable('health_costs.csv');
age = data.Age;
weight = data.Weight;
cost = data.Cost;

步骤 2：数据预处理

在进行回归分析之前，我们可以先对数据进行简单的可视化，检查数据的分布和趋势。

% 绘制散点图
figure;
subplot(1, 2, 1);
scatter(age, cost, 'filled');
title('Medical Costs vs Age');
xlabel('Age');
ylabel('Cost');
grid on;

subplot(1, 2, 2);
scatter(weight, cost, 'filled');
title('Medical Costs vs Weight');
xlabel('Weight');
ylabel('Cost');
grid on;

步骤 3：建立多元线性回归模型

使用 fitlm 函数建立多元线性回归模型。

% 建立多元线性回归模型
X = [age, weight];
mdl = fitlm(X, cost);

% 显示模型参数
disp(mdl);

步骤 4：模型验证

我们可以通过绘制回归图和残差图来验证模型的效果，并计算模型的常规统计指标来判断模型的拟合度。

% 绘制回归图
figure;
plot(mdl);
title('Medical Costs Regression Model');
xlabel('Predictors');
ylabel('Medical Costs');
grid on;

% 绘制残差图
figure;
plotResiduals(mdl, 'fitted');
title('Residuals of the Regression Model');
grid on;

步骤 5：模型应用

通过训练好的模型，我们可以预测新的病人数据，例如给定新的病人的年龄和体重，预测其医疗成本。

% 预测新的病人的医疗成本
new_age = 50;
new_weight = 100;
new_data = [new_age, new_weight];
predicted_cost = predict(mdl, new_data);
disp(['Predicted medical cost for age ' num2str(new_age) ' and weight ' num2str(new_weight) ': $' num2str(predicted_cost)]);

下表总结了建模过程的各个步骤及相应的 Matlab 操作：

步骤	说明	示例
导入数据	从CSV文件中导入数据	readtable('health_costs.csv');
数据预处理	可视化数据，检查分布和趋势	scatter(age, cost, 'filled');
建立模型	使用线性回归建立预测模型	mdl = fitlm(X, cost);
模型验证	通过绘制回归图和残差图，计算统计指标	plot(mdl); plotResiduals(mdl, 'fitted');
模型应用	使用训练好的模型进行预测	predict(mdl, new_data);

六、总结

本文详细介绍了线性模型的基本概念、种类、建立方法和求解步骤。我们通过多个实际案例，展示了线性模型在不同应用领域中的具体实施过程，包括生产计划、投资组合优化和经济预测。最后，以医疗成本预测为实例，展示了完整的建模、数据预处理、模型建立、验证和应用的全过程。