AcWing算法基础课笔记——动态规划之背包问题

背包问题

1. 01背包问题

解题思路：

题目

2. 01背包问题 - AcWing题库

代码

优化前：

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main() {
	cin >> n >> m;
	
	for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
	
	for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
		for(int j = 0; j <= m; j ++ ) {
			f[i][j] = f[i - 1][j];
			if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
		}
	}
	
	cout << f[n][m] << endl;
	
	return 0;
}

将f[N][N]改为一维数组进行优化：

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main() {
	cin >> n >> m;
	
	for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
	
	for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
		for(int j = m; j >= v[i]; j -- ) {
			f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
		}
	}
	
	cout << f[m] << endl;
	
	return 0;
}

2. 完全背包问题

解题思路：

优化：

对比01背包问题，发现只有一点点不一样：

（上面是01背包问题的方程，下面是完全背包问题的方程）

题目

3. 完全背包问题 - AcWing题库

代码

朴素做法：

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main() {
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
	
	for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
		for(int j = 0; j <= m; j ++ ) {
			for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++ ) {
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + k * w[i]);
			}
		}
	}
	
	cout << f[n][m] << endl;
	
	return 0;
}

优化版1：

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main() {
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
	
	for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
		for(int j = 0; j <= m; j ++ ) {
			f[i][j] = f[i - 1][j];
			if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]); 
		}
	}
	
	cout << f[n][m] << endl;
	
	return 0;
}

终极优化版：

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main() {
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
	
	for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
		for(int j = v[i]; j <= m; j ++ ) {
			f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); 
		}
	}
	
	cout << f[m] << endl;
	
	return 0;
}

3. 多重背包问题

朴素版：

f[i][j] = max(f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k); // k = 0, 1, 2,..., s[i]

题目

简单版：

4. 多重背包问题 I - AcWing题库

数据更难版：

5. 多重背包问题 II - AcWing题库

代码

朴素版：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;

int v[N], w[N], s[N];
int f[N][N];
int n, m;

int main() {
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d%d%d", &v[i], &w[i], &s[i]);
	
	for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
		for(int j = 0; j <= m; j ++ ) {
			for(int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++) {
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
			}
		}
	}
	
	cout << f[n][m] << endl;
	
	return 0;
}

优化版：

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 25000, M = 2010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main() {
	cin >> n >> m;
	
	int cnt = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
		int a, b, s;
		cin >> a >> b >> s;
		int k = 1;
		while(k <= s) {
			cnt ++;
			v[cnt] = k * a;
			w[cnt] = k * b;
			s -= k;
			k *= 2;
		}
		if(s > 0) {
			cnt ++;
			v[cnt] = s * a;
			w[cnt] = s * b;
		}
	}
	n = cnt;
	
	for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
		for(int j = m ; j >= v[i]; j -- ) {
			f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
		}
	}
	cout << f[m] << endl;
	return 0;
}

4. 分组背包问题

9. 分组背包问题 - AcWing题库

解题思路：

题目

有 ? 组物品和一个容量是 ? 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 ?_{??}，价值是 ?_{??}，其中 ? 是组号，? 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行有两个整数?，?，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 ? 组数据：

• 每组数据第一行有一个整数 Si??，表示第 i? 个物品组的物品数量；
• 每组数据接下来有?? 行，每行有两个整数 ???,???，用空格隔开，分别表示第 ? 个物品组的第 ? 个物品的体积和价值；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<?,?≤100
0<??≤100
0<???,???≤100

输入样例

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

输出样例：

8

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N];

int main(){
	cin >> n >> m;
	
	for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
		cin >> s[i];
		
		for(int j = 0; j < s[i]; j ++ ) {
			cin >> v[i][j] >> w[i][j];
		}
	}
	
	for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
		for(int j = m; j >= 0; j -- ) {
			for(int k = 0; k < s[i]; k ++ ) {
				if(v[i][k] <= j) f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
			}
		}
	}
	
	cout << f[m] << endl;
	
	return 0;
}