【数据结构】——堆的实现与算法

目录

一、堆的实现

1.1堆数据的插入

1.2堆数据的删除

二、建堆算法

2.1向上调整建堆

2.2向下调整建堆

三、堆的应用

3.1堆排序

3.2Top—K问题

一、堆的实现

1.1堆数据的插入

插入一个数据后不再是小堆需要将新数据调整到合适的位置，所以堆的插入就是在数组插入数据再向上调整即可

堆数据的插入

1.检查空间是否需要扩容

2.赋值size++

3.向上调整

void AdjustUp(HPDataType* a,int size)
{
	int child = size - 1;
	while (child > 0)
	{
		int parent = (child - 1) / 2;//父亲结点
		if (a[child] < a[parent])//判断 小于建小堆
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);
	if (php->capacity == php->size)
	{
		int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a,sizeof(HPDataType)*newcapacity);//这是 php->a的动态内存
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("fail realloc");
			return;
		}
		php->a = tmp;
		php->capacity = newcapacity;
	}
	php->a[php->size++] = x;
	AdjustUp(php->a, php->size);
}

1.2堆数据的删除

分析：

因此：

代码：

void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{
	int child = 2 * parent + 1;
	while (child<size)//结束条件不能越界
	{
		//假设法求出最小的孩子
		if (child + 1 < size && a[child] > a[child + 1])
		{
			child = child + 1;
		}
		//调整
		if (a[parent] > a[child])
		{
			Swap(&a[parent], &a[child]);
			//更新父亲孩子结点
			parent = child;
			child = 2 * parent + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void HPPop(HP* php)//删除根结点
{
	assert(php && php->size > 0);
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

二、建堆算法

2.1向上调整建堆

堆插入的过程其实就是建堆，在一个堆的末尾插入数据然后向上调整形成一个新的堆

void AdjustUp(HPDataType* a, int size)
{
	int child = size - 1;
	while (child > 0)
	{
		int parent = (child - 1) / 2;//父亲结点
		if (a[child] > a[parent])//判断 小于建小堆
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

向上调整建堆时间复杂度分析

根据大O渐进法，向上调整建堆的时间复杂度即 O(N*logN）

2.2向下调整建堆

从最后一个父亲结点开始依次向下调整

根据大O渐进法，向下调整建堆的时间复杂度即 O(N）

对比向上调整建堆，h-1层向下调整只需要移动1层，而向上调整需要移动h-1次因此向下调整是更优的建堆算法

三、堆的应用

3.1堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆

升序：建大堆

降序：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序 

演示代码：

//升序向下调整
void SAdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{
	int child = 2 * parent + 1;
	while (child < size)//结束条件不能越界
	{
		//假设法求出最小的孩子
		if (child + 1 < size && a[child] < a[child + 1])
		{
			child = child + 1;
		}
		//调整
		if (a[parent] < a[child])
		{
			Swap(&a[parent], &a[child]);
			//更新父亲孩子结点
			parent = child;
			child = 2 * parent + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapSort(int* a, int n)
{
	//升序建大堆
	//降序建小堆

	向上建堆
	//for (int i = 1; i < n; i++)
	//{
	//	//相当于慢慢插入数据建堆
	//	SAdjustUp(a, i);
	//}
	//向下调整建堆
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		SAdjustDown(a, n,  i);
	}
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);
		SAdjustDown(a, end, 0);
		end--;
	}
}

 堆排序的时间复杂度：

对比向上调整建堆

可以知道堆排序时间复杂度：O（N*logN）

3.2Top—K问题

Top—K问题：N个数中求最大的（最小的）前K个数据，一般N远大于K

实例：专业前5名、富豪榜、游戏战力榜等等

方法一：

建一个N个数的大堆  O（N）

Pop k次数据         O（N*logN）

此方法缺陷也很明显如果N太大，排序就不太可取，甚至数据都无法一下子加载到内存中

方法二：

用前K个数建一个小堆   O（K）

剩下数据与堆顶数据比较，如果比堆顶数据大，那么替代堆顶进堆（覆盖堆顶数据然后向下调整）

O（logK*（N-K）（最坏情况都需要覆盖调整）

复杂度：O（N）

分析：

剩下的N-K个数据依次与堆顶数据比较

<1>数据比堆顶数据小，那么不可能为最大的前K个

<2>数据比堆顶数据大，覆盖调整之后形成一个新的小堆，再次比较

比较完所有的数后那么小堆中就是最大的前K个数据

代码实现

先生成十万个数据

void CreatData()
{
	int n = 100000;//生成10万个数据
	srand(time(0));//生成不同的种子
	FILE* file = fopen("qsy.txt", "w");//打开文件
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		int x = rand() % 100001 + i;//生成随机数
		fprintf(file, "%d\n", x);//写数据
	}
	fclose(file);//关闭文件
	file = NULL;
}

开K个空间从 qsy 文件里读取数据建堆

之后再读取数据比较堆顶数据覆盖调整

void CreatData()
{
	int n = 100000;//生成10万个数据
	srand(time(0));//生成不同的种子
	FILE* file = fopen("qsy.txt", "w");//打开文件
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		int x = rand() % 100001 + i;//生成随机数
		fprintf(file, "%d\n", x);//写数据
	}
	fclose(file);//关闭文件
	file = NULL;
}

int main()
{
	CreatData();
	int k;
	scanf("%d", &k);
	int* kmin = (int*)malloc(10 * sizeof(int));
	if (kmin == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return 1;
	}
	//读取数据
	FILE* pf = fopen("qsy.txt", "r");
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		fscanf(pf, "%d", &kmin[i]);
	}
	//建k个数的小堆
	for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		JAdjustDown(kmin, k, i);
	}
	//比较数据
	int x;
	while (fscanf(pf, "%d", &x) != EOF)
	{
		if (x > kmin[0])
		{
			kmin[0] = x;
			JAdjustDown(kmin, k, 0);
		}
	}
	//打印数据
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		printf("%d ", kmin[i]);
	}
	return 0;
}