【递归 + 记忆化搜索优化】力扣494. 目标和

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-’ ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 ‘+’ ，在 1 之前添加 ‘-’ ，然后串联起来得到表达式 “+2-1” 。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：
输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：
输入：nums = [1], target = 1
输出：1

方法一：递归

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        //正数和 - 要加“-”号的元素和 = target；
        //正数和 - （未加符号元素总和 - 正数和）= target；
        // 2正数和 - 未加符号元素总和 = target；
        // 正数和 = （target + 未加符号元素总和）/ 2；

        int posNum;
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++){
            sum += nums[i];
        }

        int sum2 = target + sum;
        if(sum2 % 2 == 1 || sum2 < 0){
            return 0;
        }
        sum2 /= 2;

        auto def = [&](auto &&def, int i, long long c){
            if(i < 0){
                if(c == 0) return 1;
                else return 0;
            }

            if(c - nums[i] < 0){
                return def(def, i-1, c);
            }
            return def(def, i-1, c) + def(def, i-1, c - nums[i]);
        };
        return def(def, nums.size()-1, sum2);
    }
};

正数和 - 要加“-”号的元素和 = target；
正数和 - （未加符号元素总和 - 正数和）= target；
2正数和 - 未加符号元素总和 = target；
正数和 = （target + 未加符号元素总和）/ 2；

所以我们只需要先计算出sum2，然后来从后往前，根据判断这个元素是否是正数，如果是正数的话，正数和 - 该元素，如果不是的话，正数和不变，继续往前选择元素是否是正数的情况。该方法在时间复杂度上较高，可以考虑使用记忆话搜索避免重复运算。

方法二：记忆化搜索

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        //正数和 - 要加“-”号的元素和 = target；
        //正数和 - （未加符号元素总和 - 正数和）= target；
        // 2正数和 - 未加符号元素总和 = target；
        // 正数和 = （target + 未加符号元素总和）/ 2；

        int posNum;
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++){
            sum += nums[i];
        }

        int sum2 = target + sum;
        if(sum2 % 2 == 1 || sum2 < 0){
            return 0;
        }
        sum2 /= 2;

        vector<vector<int>> memo(nums.size(), vector<int>(sum2+1, -1));
        auto def = [&](auto &&def, int i, long long c){
            if(i < 0){
                if(c == 0) return 1;
                else return 0;
            }
            int& res = memo[i][c];

            if(res != -1){
                return res;
            }

            if(c - nums[i] < 0){
                return def(def, i-1, c);
            }
            return res = def(def, i-1, c) + def(def, i-1, c - nums[i]);
        };
        return def(def, nums.size()-1, sum2);
    }
};

定义了一个二维向量memo来记忆在第i个元素时，如果还剩下c的时候，有多少种组合方式进行储存，当其他递归运算到这种情况的时候，就不需要继续递归下去，直接使用储存好的数值就行。优化后，计算所有案例时间由499ms -> 7ms。