向量空间与基变换

1. 向量空间的定义

向量空间(Vector Space)是指一组具有向量加法和数乘运算的元素的集合,并且这些运算满足以下公理:

  1. 加法封闭性:对于任意两个向量 u u u v v v,它们的和 u + v u + v u+v 也在该向量空间中。
  2. 加法交换律:对于任意两个向量 u u u v v v,有 u + v = v + u u + v = v + u u+v=v+u
  3. 加法结合律:对于任意三个向量 u u u v v v w w w,有 ( u + v ) + w = u + ( v + w ) (u + v) + w = u + (v + w) (u+v)+w=u+(v+w)
  4. 存在零向量:存在一个零向量 0 0 0,使得对于任意向量 v v v,有 v + 0 = v v + 0 = v v+0=v
  5. 存在加法逆元:对于每个向量 v v v,存在一个向量 − v -v v,使得 v + ( − v ) = 0 v + (-v) = 0 v+(v)=0
  6. 数乘封闭性:对于任意标量 a a a 和任意向量 v v v,数乘 a v av av 也在该向量空间中。
  7. 数乘分配律
    • 对于标量 a a a b b b 和向量 v v v,有 ( a + b ) v = a v + b v (a + b)v = av + bv (a+b)v=av+bv
    • 对于标量 a a a 和向量 u u u v v v,有 a ( u + v ) = a u + a v a(u + v) = au + av a(u+v)=au+av
  8. 数乘结合律:对于标量 a a a b b b 和向量 v v v,有 ( a b ) v = a ( b v ) (ab)v = a(bv) (ab)v=a(bv)
  9. 数乘的单位元:存在一个标量 1,使得对于任意向量 v v v,有 1 v = v 1v = v 1v=v

2. 零向量的定义

零向量是向量空间中的一个特殊元素,满足以下条件:

  • 对于任意向量 v v v,有 v + 0 = v v + 0 = v v+0=v
  • 零向量在向量空间中是唯一的。假设有两个零向量 0 1 0_1 01 0 2 0_2 02,那么 0 1 = 0 2 0_1 = 0_2 01=02

3. 子空间的定义

子空间(Subspace)是向量空间中的一个子集,这个子集本身也是一个向量空间。子空间必须满足以下条件:

  1. 包含零向量:子空间必须包含原向量空间的零向量。
  2. 封闭性:对于子空间中的任意两个向量 u u u v v v,它们的和 u + v u + v u+v 仍然在子空间中。
  3. 数乘封闭性:对于子空间中的任意向量 v v v 和任意标量 a a a,数乘 a v av av 仍然在子空间中。

4. 基和维数

4.1 基的定义

一个向量空间 V V V 的基是指一个向量组 { v 1 , v 2 , … , v n } \{v_1, v_2, \dots, v_n\} {v1,v2,,vn},满足以下条件:

  1. 线性无关性:基中的向量彼此线性无关。
  2. 张成空间:基中的向量可以通过线性组合生成整个向量空间。

4.2 维数的定义

向量空间的维数是基向量的数量,表示的是向量空间的大小或自由度。

4.3 例子说明

  • 二维向量空间 R 2 \mathbb{R}^2 R2:标准基为 { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) } \{(1, 0), (0, 1)\} {(1,0),(0,1)},维数为 2。
  • 三维向量空间 R 3 \mathbb{R}^3 R3:标准基为 { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) } \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\} {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},维数为 3。
  • 多项式空间 P 2 P_2 P2:基为 { 1 , x , x 2 } \{1, x, x^2\} {1,x,x2},维数为 3。

5. 基变换

5.1 基变换的定义

基变换是指将向量在一个基下的表示转换为另一个基下的表示。设有两个基 B 1 B_1 B1 B 2 B_2 B2,基变换的公式为:

[ x ] B 2 = P ⋅ [ x ] B 1 [x]_{B_2} = P \cdot [x]_{B_1} [x]B2=P[x]B1

其中, P P P 是基变换矩阵。

5.2 基变换矩阵的构造

基变换矩阵 P P P 的构造方法如下:

  1. 将基 B 2 B_2 B2 中的每个基向量用基 B 1 B_1 B1 中的向量表示,得到 [ w j ] B 1 [w_j]_{B_1} [wj]B1
  2. 基变换矩阵 P P P 由这些表示向量作为列向量构成。

5.3 基变换对几何量的影响

基变换不会改变向量、面积、体积等几何量本身的值。基变换矩阵的行列式 det ⁡ ( P ) \det(P) det(P) 可以用来衡量线性变换时的缩放因子。

  • P P P 是正交矩阵,则基变换不会改变长度、面积、体积。
  • det ⁡ ( P ) = 1 \det(P) = 1 det(P)=1 − 1 -1 1,则基变换不会改变面积或体积的大小。

5.4 例子说明

例子 1:正交基变换

B 1 = { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) } B_1 = \{(1, 0), (0, 1)\} B1={(1,0),(0,1)},基 B 2 = { ( 1 2 , 1 2 ) , ( − 1 2 , 1 2 ) } B_2 = \{(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\} B2={(2 1,2 1),(2 1,2 1)}。基变换矩阵为正交矩阵,行列式为 1,不改变几何量。

例子 2:非正交基变换

B 1 = { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) } B_1 = \{(1, 0), (0, 1)\} B1={(1,0),(0,1)},基 B 2 = { ( 2 , 0 ) , ( 0 , 3 ) } B_2 = \{(2, 0), (0, 3)\} B2={(2,0),(0,3)}。基变换矩阵 P P P 的行列式为 6,表示面积被放大了 6 倍。

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