深度学习基础(Datawhale X 李宏毅苹果书AI夏令营)

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3.1局部极小值和鞍点

3.1.1. 优化失败问题

在神经网络中，当优化到梯度为0的地方，梯度下降就无法继续更新参数了，训练也就停下来了，如图：

梯度为0的情况包含很多种情况：局部最小值、鞍点等。我们统称为临界值。

3.1.2. 判断临界值种类方法

要想知道临界值种类，我们需要知道损失函数的形状。

使用泰勒级数近似来判断：

${\theta }^{\prime }$ 附近的$L(\theta )$可近似为：
$$L(\mathbf{\theta })\approx L\left({\mathbf{\theta }}^{\prime }\right)+{\left(\mathbf{\theta }-{\mathbf{\theta }}^{\prime }\right)}^{\mathrm{T}}\mathbf{g}+\frac{1}{2}{\left(\mathbf{\theta }-{\mathbf{\theta }}^{\prime }\right)}^{\mathrm{T}}\mathbf{H}\left(\mathbf{\theta }-{\mathbf{\theta }}^{\prime }\right).$$
其中，第一项 $L(\theta {)}^{\prime }$ 告诉我们，当 $\theta$ 跟 ${\theta }^{\prime }$ 很近的时候，$L(\theta )$ 应该跟 $L({\theta }^{\prime })$ 还蛮靠近的；第二项 $(\theta -{\theta }^{\prime }{)}^{T}g$ 中，$g$ 代表梯度，它是一个向量，可以弥补 $L({\theta }^{\prime })跟L(\theta )$ 之间的差距。第三项跟梅森矩阵$H$ 有关，

在临界点，梯度$g$ 为0，也就是第二项为0，则损失函数可近似为:
$$L(\mathbf{\theta })\approx L\left({\mathbf{\theta }}^{\prime }\right)+\frac{1}{2}{\left(\mathbf{\theta }-{\mathbf{\theta }}^{\prime }\right)}^{\mathrm{T}}\mathbf{H}\left(\mathbf{\theta }-{\mathbf{\theta }}^{\prime }\right);$$
我们可以根据$\frac{1}{2}{\left(\theta -{\theta }^{\prime }\right)}^{\mathrm{T}}\mathbf{H}\left(\mathbf{\theta }-{\mathbf{\theta }}^{\prime }\right)$来判断在${\mathbf{\theta }}^{\prime }$附近的误差表 (error surface) 到底长什么样子。知道误差表面的“地貌”,我们就可以判断$L({\mathbf{\theta }}^{\prime })$是局部极小值、局部极大值，还是鞍点。为了符号简洁，我们用向量$v$来表示$\theta -{\theta }^{\prime },{\left(\theta -{\theta }^{\prime }\right)}^{\mathrm{T}}H\left(\theta -{\theta }^{\prime }\right)$可改写为$v^{\mathrm{T}}Hv$,

对于三种情况：

1. 如果对所有$v,v^{\mathrm{T}}\mathbf{H}\mathbf{v}>0.$这意味着对任意$\mathbf{\theta },L(\mathbf{\theta })>L({\mathbf{\theta }}^{\prime })$.只要$\mathbf{\theta }$在${\mathbf{\theta }}^{\prime }$附近，$L(\mathbf{\theta })$都大于$L({\mathbf{\theta }}^{\prime })$.这代表$L({\mathbf{\theta }}^{\prime })$是附近的一个最低点，所以它是局部极小值。
2. 如果对所有$v,v^{\mathrm{T}}\mathbf{H}v<0.$这意味着对任意$\mathbf{\theta },L(\mathbf{\theta })<L({\mathbf{\theta }}^{\prime }),{\mathbf{\theta }}^{\prime }$是附近最高的一个点，$L({\mathbf{\theta }}^{\prime })$是局部极大值。
3. 如果对于$v$，$v^{\mathrm{T}}Hv$有时候大于零，有时候小于零。这意味着在${\theta }^{\prime }$附近，有时候$L(\mathbf{\theta })>L({\mathbf{\theta }}^{\prime })$,有时候$L(\mathbf{\theta })<L({\mathbf{\theta }}^{\prime })$.因此在.${\mathbf{\theta }}^{\prime }$附近，$L({\mathbf{\theta }}^{\prime })$既不是局部极大值，也不是局部极小值，而是鞍点。

一个更简单的计算方法：只看$H$的特征值：

若$H$的所有特征值都是正的，$H$为正定矩阵，则$v^{\mathrm{T}}Hv>0$,临界点是局部极小值。若$H$的所有特征值都是负的，$\mathbf{H}$为负定矩阵，则${\mathbf{v}}^{\mathrm{T}}\mathbf{H}\mathbf{v}<0$,临界点是局部极大值。若$H$的特征值有正有负，临界点是鞍点。

3.2 批量和动量

3.2.1 批量大小对梯度下降法的影响

1. 批量梯度下降(BGD)

   使用整个训练集的优化算法被称为批量(batch)或确定性(deterministic)梯度算法，因为它们会在一个大批量中同时处理所有样本。

2. 随机梯度下降（SGD)

   随机梯度下降法不同于批量梯度下降，随机梯度下降是在每次迭代时使用一个样本来对参数进行更新（mini-batch size =1）。

• BGD每次更新更稳定，更准确；SGD在梯度上引入随机噪声，在非凸优化问题种，更容易逃离局部最小值，优化效果更好。

• BGD遇到临界值，梯度为0的点时，难以逃离；而SGD容易逃出局部极小点等。

• BGD泛化性一般情况下比SGD差。

3.2.2 动量法

动量法（momentum method）是一个可以对抗鞍点或局部最小值的方法。即在梯度为0的点时，可以利用自身的动量在一定情况下冲出局部极小值和鞍点等。

与传统的梯度下降不一样，动量法引入动量后，每次在移动参数的时候，不是只往梯度的反方向来移动参数，而是根据梯度的反方向加上前一步移动的方向决定移动方向。

这样让梯度下降在梯度为0的点时有一定可能继续继续更新。