《高等代数》范德蒙德行列式的应用

说明：此文章用于本人复习巩固，如果也能帮助到大家那就更加有意义了。

注：范德蒙德行列式的简单应用及其变形。

范德蒙德行列式的计算公式：

注：（1）用大下标减去小下标。

       （2）i>j,不是i≥j

例一：（公式的简单应用）

例二：（缺失的范德蒙德行列式一）

注：1）可以看到，所要求的行列式与范德蒙德行列式相比缺失了次数为三次方的一行。利用行列              式的展开，将所要求得行列式按照第四行展开，再利用代数余子式和余子式得关系，可以              得到每一项里面都隐藏了一个三阶得范德蒙德行列式，再用范德蒙德行列式得计算公式即              可求得结果。

例三：（缺失的范德蒙德行列式二）

注：1）利用范德蒙德行列式和余子式的关系得到所要求得行列式为范德蒙德行列式的一个余子式，再利用范德蒙德行列式的计算公式，通过合并同类项，得到系数即为余子式的相反数，也为所要求的行列式。

例四：（范德蒙德行列式与转置）

（1）先看一个简单的四阶范德蒙德行列式的转置

        得出来的规律是，转置后的范德蒙德行列式从第2列开始分别是第1列的1倍、2倍、3倍。接下来，我们要用这个规律来做下面的题目。

      上面是将所求行列式的第列分别提取出来，相乘为n!，这样使得行列式第一列都变为1，所以第1列也可以看作1^0 ,  2^0 , 3^0, 4^0......n^0,与上面4阶范德蒙德行列式的转置相对比，形式一致，1相当于x1,2相当于x2,3相当于x3，4相当于x4,以此类推，n相当于xn。所以提取了n!后剩下的行列式就是一个n-1阶的范德蒙德行列式，利用范德蒙德行列式计算公式即可求解。   

   例五：（缺失的范德蒙德行列式和范德蒙德行列式的转置相结合）