目录

一、引言

二、问题分析

问题1:年化出栏量与羊栏缺口估算

问题2:最大化年化出栏量的生产计划

问题3:考虑不确定因素的生产计划

三、解题思路

1. 模型假设与变量设定

2. 问题1的建模与求解

3. 问题2的建模与优化

4. 问题3的建模与不确定性处理

四、知识点解析

1. 线性规划与非线性规划

2. 动态规划

3. 蒙特卡罗模拟

五、MATLAB代码示例

六、总结与建议


一、引言

全国大学生数学建模竞赛是全国高校学子展示数学应用能力的平台,每年吸引大量学生参与。在竞赛中,选手需要运用数学模型解决实际问题。2023年的D题“圈养湖羊的空间利用率”聚焦于湖羊养殖场的空间利用率优化,是典型的生产计划和资源优化问题。本文将基于该题,详细介绍如何建立模型,优化湖羊养殖场的生产计划。

二、问题分析

湖羊是国家级保护品种,具有早期生长快、四季发情等优良特性。养殖场需分群饲养湖羊,以适应不同阶段对空间的需求。养殖过程中,需考虑母羊的交配期、孕期、哺乳期和休整期,以及公羊和育肥期羔羊的需求。

问题1:年化出栏量与羊栏缺口估算

题目要求在不考虑不确定因素的情况下,确定合理的种公羊和基础母羊数量,并估算年化出栏羊只数量的范围。若养殖场希望每年出栏不少于1500只羊,则需要估算现有羊栏数量的缺口。

问题2:最大化年化出栏量的生产计划

在112个标准羊栏的限制下,制定具体的生产计划(包括种公羊与基础母羊的配种时机和数量、羊栏使用方案等),以最大化年化出栏量。

问题3:考虑不确定因素的生产计划

在现实中,母羊受孕率、孕期、羔羊死亡率等均具有不确定性,需要制定能应对多种情况的生产预案,以最小化空间损失。

三、解题思路

1. 模型假设与变量设定
  • 假设1: 羊只生长过程中的各项时间周期是固定的(如孕期149天,哺乳期40天等)。
  • 假设2: 各阶段的空间需求不变,不同阶段的羊只不能同栏。
  • 假设3: 忽略羊只死亡、流产等影响出栏的因素。
  • 变量定义:
    • xxx:每批次进入交配期的基础母羊数量。
    • ggg:批次之间的间隔天数。
    • nnn:母羊工作周期,包括交配、孕期、哺乳和休整,共229天。
2. 问题1的建模与求解

目标: 估算在112个羊栏条件下,不同数量的基础母羊的年化出栏数量,并计算满足1500只年化出栏的羊栏缺口。

建模步骤:

  1. 单批次羊栏需求: 每批次母羊的工作周期是229天,包括交配期20天、孕期149天、哺乳期40天、空怀休整期20天。

  2. 计算单批次母羊的羊栏天数: 根据每阶段母羊的数量限制(如每栏最多14只基础母羊、8只孕母羊等),计算单个周期内所有批次母羊的羊栏需求。

  3. 年化出栏数量: 通过循环批次安排,使羊栏的使用量接近稳定,推导年化出栏数量。

  4. 估算羊栏缺口: 若年化出栏数量目标为1500只,根据当前出栏数量估算缺口的羊栏数量。

计算结果:

  • 单个批次母羊的年化出栏数量范围为1163至1312只。
  • 若年化出栏目标为1500只,羊栏缺口在16至32之间。
3. 问题2的建模与优化

目标: 在112个羊栏的限制下,制定生产计划,使得年化出栏数量最大化。

建模步骤:

  1. 变量设定: 设置决策变量为批次间隔 ggg 和每批次母羊数量 xxx,目标是最大化年化出栏数量。

  2. 建立规划模型: 该模型是一个非线性整数规划问题,需要考虑到羊栏数量的约束。

  3. 模型简化: 固定间隔 ggg 和每批次母羊数量 xxx,简化后仅需遍历这两个变量以寻找最优解。

  4. 求解最优方案: 通过遍历不同的批次间隔和母羊数量,找到在112个羊栏的限制下最大化年化出栏数量的方案。

优化结果:

  • 最优方案为9只公羊和408只母羊(其中第一批48只,后续每批40只),批次间隔22天。
  • 年化出栏数量为1224只,羊栏利用率达到97.38%。
4. 问题3的建模与不确定性处理

目标: 考虑不确定因素(如受孕率、孕期长度波动等),制定最小化期望损失的生产计划。

建模步骤:

  1. 随机模拟: 通过蒙特卡罗模拟处理受孕率和孕期长度的波动,生成多种生产情况。

  2. 决策变量: 每批次进入交配期的基础母羊数量 xxx 和生产间隔 ggg。

  3. 优化目标: 计算每种可能方案的期望损失,并选择期望损失最小的方案。

优化结果:

  • 通过模拟,发现每批次母羊数量为40只时,期望损失最小,日均损失为3.79。
  • 对应的年化出栏数量为1116只,方案稳定且羊栏利用率较高。

四、知识点解析

1. 线性规划与非线性规划
  • 线性规划: 主要用于线性约束和目标函数的问题,在本文问题1中,通过线性规划求解出羊栏的利用情况。
  • 非线性规划: 当目标函数或约束条件为非线性时,需采用非线性规划。本文问题2即为一个典型的非线性规划问题。
2. 动态规划
  • 动态规划: 用于解决多阶段决策问题。本文问题3涉及到对不确定因素的应对,通过动态规划的方法建立多种备选方案。
3. 蒙特卡罗模拟
  • 蒙特卡罗模拟: 用于处理不确定性和随机变量。本文问题3使用蒙特卡罗方法模拟不同的受孕率和孕期长度情景,估算出各方案的期望损失。

五、MATLAB代码示例

以下是问题2的MATLAB代码示例,用于计算年化出栏数量的最优生产计划:

% MATLAB代码示例:问题2 - 年化出栏数量最大化

clear;
pp = 4;  % 周期数
g(1:10) = 22;  % 批次之间的间隔天数
p = [20, 149, 40, 20];  % 母羊各状态持续时间
k = 10;  % 总批次数量
p5 = 210;  % 羔羊育肥期持续时间
x(1:k) = 40; x(1) = 48; % 各批次母羊数量
m = ceil(sum(x) / 50);  % 公羊数量
m2 = ceil(m/4);  % 非交配期空闲公羊占用栏数

% 初始化
t(1:k,1:4*pp + 1) = 0;  % 时间节点
T(1:k,1:2*pp) = 0;

% 第1批次时间节点计算
t(1,1) = 1;  % 初始时刻
for j = 2:5  % 计算第1至6时间节点
    t(1,j) = t(1,j - 1) + p(j - 1);
end
T(1,1) = t(1,4); T(1,2) = t(1,4) + p5;

% 后续周期时间节点计算
for i = 2:pp
    t(1,4 * (i - 1) + 2 : 4 * i + 1) = t(1,4 * (i - 2) + 2 : 4 * (i - 1) + 1) + sum(p);
    T(1,2 * (i - 1) + 1 : 2 * i) = T(1,2 * (i - 2) + 1 : 2 * (i - 1)) + sum(p);
end

% 计算母羊状态
deltaij(1:k,1:4,1:1000) = 0;  % 初始化0-1变量
for l = 1:1000
    for i = 1:k
        kk = find(t(i,:) <= l,1,"last");
        j = 1 + mod((kk - 1),4);
        deltaij(i,j,l) = 1;
    end
end

% 羔羊状态计算
deltai_bar(1:k,1:1000) = 0;  % 初始化0-1变量
for l = 1:1000
    for i = 1:k
        kk = find(T(i,:) <= l,1,"last");
        if mod(kk,2) == 1
            deltai_bar(i,l) = 1;
        end
    end
end

% 公羊状态计算
Delta(1:1000) = 0;  % 初始化0-1变量
for l = 1:1000
    Delta(l) = max(deltaij(:,1,l));
end

% 计算羊栏需求
N(1:1000) = 0;
for l = 1:1000
    N1 = 0; N2 = 0;
    for i = 1:k
        [n1,m1] = numjp(x(i),m);
        n = [n1 + m1, ceil(x(i) / 8), ceil(x(i) / 6), ceil(x(i) / 14)];
        for j = 1:4
            N1 = N1 + ceil(deltaij(i,j,l) * n(j));
        end
    end
    N(l) = N1 + m2 * Delta(l);
end

% 输出结果
disp(['年化出栏数量为: ', num2str(sum(x))]);
disp(['羊栏最大需求数为: ', num2str(max(N))]);

六、总结与建议

本文通过详细分析和建模,探讨了湖羊养殖场空间利用率的优化问题。通过科学的建模和优化方法,参赛者可以高效解决实际问题,并在全国大学生数学建模竞赛中取得优异成绩。建议参赛者在备赛中注重以下几点:

  1. 加强数学建模基础:熟悉线性和非线性规划、动态规划等数学工具。
  2. 精通编程工具:掌握MATLAB、Python等编程语言,能快速实现模型和算法。
  3. 多做历年竞赛题目:通过实践提升建模和解题能力。
  4. 重视团队合作与时间管理:合理分工,统筹安排,确保每个环节顺利完成。

预祝各位参赛者在2024年的全国大学生数学建模竞赛中取得佳绩!

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