1. 基本流程

二分类任务决策树流程:
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决策树:包含 1个根结点、若干个内部结点、若干个叶结点。叶结点对应决策结果,内部结点对应属性测试

决策树训练过程
在这里插入图片描述决策树训练时,有 3 种情况会导致递归 return

  1. 结点包含的样本同属于同一类别,无需划分
  2. 属性值完全一致,或者属性集为空(递归边界条件)
  3. 样本集合为空

对第1、2点区别:
样本同属于同一类别,指的是 D 的 y 值取值相同,此时无需划分
属性值完全一致,但是对应的 y 值可能有多个,此时也无需划分。一个原因导致多个结果,不能界定该原因具体会导致哪个结果

第1点关注的是决策树的目标输出
第2点关注的是输入特征

对于2,可以把当前结点标记为叶结点,将类别 y 设定为 取值最多 的类别(后验分布)
对于3,标记为叶结点,将类别设定为 父结点 所含样本最多的类别(先验分布)

对于3,样本划分过程有空集落入,可能由于:

  • 划分过程中,样本被错误分类到其他子节点
  • 过程的划分属性或者划分值导致某些子节点没有样本


这样处理是为了使模型处理不完美数据时也能正常工作,并给出合理的预测结果


2. 划分选择

决策树学习算法 可知,算法的关键在于第 8 行:如何选择最优属性
随着划分过程不断进行,决策树的分支包含的样本应尽可能属于同一类别,即结点的 纯度 越来越高

2.1 信息增益

信息熵(information entropy):度量样本集合纯度的指标
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约定:若 p = 0,则 p l o g 2 p k = 0 plog_2p_k = 0 plog2pk=0

E n t ( D ) Ent(D) Ent(D) 的值越小,D 的纯度越高

信息增益(information gain)
在这里插入图片描述信息增益越大,用 a 来进行划分的 “纯度提升” 越大

a ∗ = a r g   m a x a ∈ A   G a i n ( D , a ) a_*= \underset{a\in A}{arg\ max}\ Gain(D, a) a=aAarg max Gain(D,a)

信息增益计算案例:在这里插入图片描述
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2.2 增益率

信息增益准则对取值数目较多的属性有偏好。例如把上述案例的编号作为划分属性,信息增益远大于其他属性。因为每个编号分支仅对应一个样本,分支结点的纯度最大。但这没有意义
增益率:减少信息增益准则对可取值数目较多的属性的偏好带来不利影响
在这里插入图片描述增益率 对可取值较的属性有偏好
信息增益 对可取值较的属性有偏好
可以从划分属性中 找出信息增益高于平均水平的属性,再 从中选出增益率最高的

2.3 基尼系数

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3. 剪枝处理

剪枝:对付“过拟合”。过度学习导致决策树分支过多
基本策略:预剪枝、后剪枝
预剪枝:生成决策树过程中,划分结点前先估计。若当前结点的划分不能提升决策树的泛化能力,停止划分并将结点标记为叶结点
后剪枝:生成完决策树,自底向上检察非叶结点。若将该结点对应的子树替换为叶结点能提升泛化性能,则将该子树替换为叶结点

验证方法可使用前面章节提到的 “留出法”,事先预留部分数据作为验证集


3.1 预剪枝

以下为原文:
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对于结点2,3,4,按脐部的属性凹陷、稍凹、平坦将训练集归类。对于凹陷,1、2、3是好瓜,14是坏瓜。因此把 结点2 暂时判断为 好瓜。对于稍凹,6、7是好瓜,15、17是坏瓜。此时把结点3归纳为好瓜、坏瓜 对验证集精度计算是没有影响的

如果某个结点划分的子结点,好瓜坏瓜的比例都是50%,验证集精度划不划分都是50%。个人觉得划分好点。可能划分后子结点的子结点能提升验证集精度。可能赚可能不赚,但至少不会亏

3.2 后剪枝

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4. 连续与缺失值

4.1 连续值处理

上述例子用到的都是离散属性来生成决策树。在现实学习任务中,常会遇到连续属性。连续属性的可取值数目是无限的,因此可以将 连续属性离散化

关键在于找到划分点 t。以连续值的二分类任务为例:
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以下示例:
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计算 G a i n ( D , a ) Gain(D, a) Gain(D,a),先计算根结点的熵 E n t ( D ) Ent(D) Ent(D) ,17瓜,8好9坏,得 E n t ( D ) = 0.9975 Ent(D) = 0.9975 Ent(D)=0.9975

  1. t = 0.381 t = 0.381 t=0.381 为例,17个瓜分为2类,
  2. 小于等于0.381的,4瓜,0好4坏;
  3. 大于0.381,13瓜,8好5坏;
  4. 计算 E n t ( D ) Ent(D) Ent(D) 分别为 0,0.9612366。
  5. G a i n = E n t ( D ) − Σ ∣ D ′ ∣ ∣ D ∣ E n t ( D ′ ) = 0.9975 − ( 0.9612366 ∗ 13 17 + 0 ∗ 4 17 ) = 0.262 Gain = Ent(D) - \Sigma\frac{|D'|}{|D|}Ent(D') = 0.9975 - (0.9612366 * \frac{13}{17} + 0 * \frac{4}{17}) = 0.262 Gain=Ent(D)ΣDDEnt(D)=0.9975(0.96123661713+0174)=0.262


计算其他 t,得到的 G a i n Gain Gain 均小于此。所以选择 0.381 作为划分点

4.2 缺失值处理

将缺失值直接丢弃会造成样本浪费。考虑利用有缺失值的样例进行学习
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  • (1)如何在属性值缺失情况下进行划分属性选择?
  • (2)给定划分属性,若样本在该属性上的值缺失,如何样本划分?

对于问题(1)
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这部分就是把不缺失值的数据集单独拎出来,再计算时加个权重。

划分属性选择缺失值不参与

对于问题(2)
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在a属性上的取值是样本在a上的取值,不是样本取值y

以下示例:
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ρ \rho ρ : 整个样本集中,无缺失值样本占的比例
p k p_k pk : 无缺失值样本中,某类样本占的比例
r r r :无缺失值样本中,属性某个取值的样本占的比例


5. 多变量决策树

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