反向传播算法
反向传播（Backpropagation）是一种用于训练人工神经网络的算法，它通过计算损失函数相对于网络中每个参数的梯度来更新这些参数，从而最小化损失函数。反向传播是深度学习中最重要的算法之一，通常与梯度下降等优化算法结合使用。
反向传播的基本原理
反向传播的核心思想是利用链式法则（Chain Rule）来高效地计算损失函数相对于每个参数的梯度。以下是反向传播的基本步骤：
-
前向传播（Forward Pass）：
- 输入数据通过神经网络进行传播，计算出每一层的输出，直到得到最终的预测结果。
- 计算损失函数，评估预测结果与真实标签之间的差异。
-
计算损失函数的梯度：
- 从输出层开始，计算损失函数相对于输出的梯度。
- 通过链式法则，将梯度逐层向后传播，计算每一层的梯度。
-
更新参数：
- 使用计算得到的梯度更新网络中的权重和偏置，通常使用梯度下降法或其变种（如 Adam、RMSprop 等）。
反向传播的数学细节
假设我们有一个简单的神经网络，包含输入层、隐藏层和输出层。设定损失函数为 L L L，网络的参数为 W W W 和 b b b（权重和偏置），反向传播的步骤如下：
-
前向传播：
- 计算输出：
y pred = f ( W ⋅ x + b ) y_{\text{pred}} = f(W \cdot x + b) ypred=f(W⋅x+b) - 计算损失：
L = Loss ( y true , y pred ) L = \text{Loss}(y_{\text{true}}, y_{\text{pred}}) L=Loss(ytrue,ypred)
- 计算输出：
-
反向传播：
- 计算输出层的梯度：
∂ L ∂ y pred \frac{\partial L}{\partial y_{\text{pred}}} ∂ypred∂L - 计算隐藏层的梯度：
∂ L ∂ W = ∂ L ∂ y pred ⋅ ∂ y pred ∂ W \frac{\partial L}{\partial W} = \frac{\partial L}{\partial y_{\text{pred}}} \cdot \frac{\partial y_{\text{pred}}}{\partial W} ∂W∂L=∂ypred∂L⋅∂W∂ypred - 继续向前传播，直到输入层。
- 计算输出层的梯度：
-
更新参数：
- 使用学习率
η
\eta
η 更新参数：
W = W − η ⋅ ∂ L ∂ W W = W - \eta \cdot \frac{\partial L}{\partial W} W=W−η⋅∂W∂L
b = b − η ⋅ ∂ L ∂ b b = b - \eta \cdot \frac{\partial L}{\partial b} b=b−η⋅∂b∂L
- 使用学习率
η
\eta
η 更新参数：
反向传播的优点
- 高效性：反向传播算法通过链式法则高效地计算梯度，避免了对每个参数单独计算梯度的高昂成本。
- 适应性：可以应用于各种类型的神经网络，包括全连接网络、卷积神经网络（CNN）、递归神经网络（RNN）等。
反向传播是训练神经网络的核心算法，通过计算损失函数的梯度并更新网络参数，使得模型能够逐步提高预测的准确性。它是深度学习的基础，使得复杂的神经网络能够有效地学习和优化。
链式法则
- 反向传播算法是一种利用链式法则计算微分的算法。
- 在一维的情况下，链式法则为: d z d x = d z d y × d y d x \frac{d z}{d x}=\frac{d z}{d y} \times \frac{d y}{d x} dxdz=dydz×dxdy 。
- 在多维情况下，设：
x
→
∈
R
m
,
y
→
∈
R
n
，
g
\overrightarrow{\mathbf{x}} \in \mathbb{R}^{m}, \overrightarrow{\mathbf{y}} \in \mathbb{R}^{n} ， g
x∈Rm,y∈Rn，g 为
R
m
\mathbb{R}^{m}
Rm 到
R
n
\mathbb{R}^{n}
Rn 的映射且满足
y
→
=
g
(
x
→
)
，
f
\overrightarrow{\mathbf{y}}=g(\overrightarrow{\mathbf{x}}) ， f
y=g(x)，f 为
R
n
\mathbb{R}^{n}
Rn 到
R
\mathbb{R}
R 的映射且满 足
z
=
f
(
y
→
)
z=f(\overrightarrow{\mathbf{y}})
z=f(y) 。则有:
∂ z ∂ x i = ∑ j = 1 n ∂ z ∂ y j ∂ y j ∂ x i , i = 1 , 2 , ⋯ , m \frac{\partial z}{\partial x_{i}}=\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial z}{\partial y_{j}} \frac{\partial y_{j}}{\partial x_{i}}, \quad i=1,2, \cdots, m ∂xi∂z=j=1∑n∂yj∂z∂xi∂yj,i=1,2,⋯,m
使用向量记法，可以等价地写作:
∇ x → z = ( ∂ y → ∂ x → ) T ∇ y → z \nabla_{\overrightarrow{\mathbf{x}}} z=\left(\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{y}}}{\partial \overrightarrow{\mathbf{x}}}\right)^{T} \nabla_{\overrightarrow{\mathbf{y}} z} ∇xz=(∂x∂y)T∇yz
其中: ∂ y → ∂ x → \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{y}}}{\partial \overrightarrow{\mathbf{x}}} ∂x∂y 为 g g g 的 n × m n \times m n×m 阶雅可比矩阵， ∇ x → z \nabla_{\overrightarrow{\mathbf{x}}} z ∇xz 为 z z z 对 x → \overrightarrow{\mathbf{x}} x 的梯度， ∇ y → z \nabla_{\overrightarrow{\mathbf{y}}} z ∇yz 为 z z z 对 y → \overrightarrow{\mathbf{y}} y 的梯度:
∇ x → z = [ ∂ z ∂ x 1 ∂ z ∂ x 2 ⋮ ∂ z ∂ x m ] ∇ y → z = [ ∂ z ∂ y 1 ∂ z ∂ y 2 ⋮ ∂ z ∂ y n ] ∂ y → ∂ x → = [ ∂ y 1 ∂ x 1 ∂ y 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ y 1 ∂ x n s ∂ y 2 ∂ x 1 ∂ y 2 ∂ x 2 ⋯ ∂ y 2 ∂ x m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ y n ∂ x 1 ∂ y n ∂ x 2 ⋯ ∂ y n ∂ x m ] \nabla_{\overrightarrow{\mathbf{x}}} z=\left[\begin{array}{c} \frac{\partial z}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial z}{\partial x_{2}} \\ \vdots \\ \frac{\partial z}{\partial x_{m}} \end{array}\right] \quad \nabla_{\overrightarrow{\mathbf{y}}} z=\left[\begin{array}{c} \frac{\partial z}{\partial y_{1}} \\ \frac{\partial z}{\partial y_{2}} \\ \vdots \\ \frac{\partial z}{\partial y_{n}} \end{array}\right] \quad \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{y}}}{\partial \overrightarrow{\mathbf{x}}}=\left[\begin{array}{cccc} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{n s}} \\ \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{m}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_{n}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial y_{n}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial y_{n}}{\partial x_{m}} \end{array}\right] ∇xz= ∂x1∂z∂x2∂z⋮∂xm∂z ∇yz= ∂y1∂z∂y2∂z⋮∂yn∂z ∂x∂y= ∂x1∂y1∂x1∂y2⋮∂x1∂yn∂x2∂y1∂x2∂y2⋮∂x2∂yn⋯⋯⋱⋯∂xns∂y1∂xm∂y2⋮∂xm∂yn
张量链式法则
- 链式法则仅可以作用于向量，也可以应用于张量:
- 首先将张量展平为一维向量。
- 然后计算该向量的梯度。
- 然后将该牱度重新构造为张量。
- 记
∇
X
z
\nabla_{\mathbf{X}} z
∇Xz 为
z
z
z 对张量
X
\mathbf{X}
X 的梯度。
X
\mathbf{X}
X 现在有多个索引 (如：二维张量有两个索引)，可以使用单个变量
i
i
i 来表 示
X
\mathbf{X}
X 的索引元组（如
i
=
1
∼
9
i=1 \sim 9
i=1∼9 表示: 一个二维张量的系引，每个维度三个元素）。
这就与向量中的系引方式完全一致: ( ∇ X z ) i = θ z ∂ x i (\nabla \mathbf{X} z)_{i}=\frac{\theta z}{\partial x_{i}} (∇Xz)i=∂xiθz 。
奴:
X = [ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 ] \mathbf{X}=\left[\begin{array}{lll} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{4} & x_{5} & x_{6} \\ x_{7} & x_{8} & x_{9} \end{array}\right] X= x1x4x7x2x5x8x3x6x9
则有:
∇ X z = [ ∂ z ∂ x 1 ∂ z ∂ x 2 ∂ z ∂ x 3 ∂ z ∂ x 4 ∂ z ∂ x 5 ∂ z ∂ x 6 ∂ z ∂ x w q ∂ z ∂ z g ∂ z ∂ x 9 ] \nabla_{\mathbf{X}} z=\left[\begin{array}{ccc} \frac{\partial z}{\partial x_{1}} & \frac{\partial z}{\partial x_{2}} & \frac{\partial z}{\partial x_{3}} \\ \frac{\partial z}{\partial x_{4}} & \frac{\partial z}{\partial x_{5}} & \frac{\partial z}{\partial x_{6}} \\ \frac{\partial z}{\partial x_{w_{q}}} & \frac{\partial z}{\partial z_{g}} & \frac{\partial z}{\partial x_{9}} \end{array}\right] ∇Xz= ∂x1∂z∂x4∂z∂xwq∂z∂x2∂z∂x5∂z∂zg∂z∂x3∂z∂x6∂z∂x9∂z - 设
Y
=
g
(
X
)
,
z
=
f
(
Y
)
\mathbf{Y}=g(\mathbf{X}), z=f(\mathbf{Y})
Y=g(X),z=f(Y) ，用单个变量
j
j
j 来表示
Y
\mathbf{Y}
Y 的索引元組。则张量的链式法则为:
∂ z ∂ x i = ∑ j ∂ z ∂ y j ∂ y j ∂ x i ⇒ ∇ X z = ∑ j ( ∇ X y j ) ∂ z ∂ y j \frac{\partial z}{\partial x_{i}}=\sum_{j} \frac{\partial z}{\partial y_{j}} \frac{\partial y_{j}}{\partial x_{i}} \Rightarrow \nabla_{\mathbf{X}} z=\sum_{j}\left(\nabla_{\mathbf{X}} y_{j}\right) \frac{\partial z}{\partial y_{j}} ∂xi∂z=j∑∂yj∂z∂xi∂yj⇒∇Xz=j∑(∇Xyj)∂yj∂z
如：
X = [ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 ] \mathbf{X}=\left[\begin{array}{lll} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{4} & x_{5} & x_{6} \\ x_{7} & x_{8} & x_{9} \end{array}\right] X= x1x4x7x2x5x8x3x6x9
则有:
∇ X z = [ ∑ j ∂ z ∂ y j ∂ y j ∂ x 1 ∑ j ∂ z ∂ y j ∂ y j ∂ x 2 ∑ j ∂ z ∂ y j ∂ y j ∂ x j ∑ j ∂ z ∂ y j ∂ y j ∂ x 4 ∑ j ∂ z ∂ y j ∂ y j ∂ x j ∑ j ∂ z ∂ y j ∂ y j ∂ x 0 ∑ j ∂ z ∂ y j ∂ y j ∂ x 7 ∑ j ∂ z ∂ y j ∂ y j ∂ x 8 ∑ j ∂ z ∂ y j ∂ y j ∂ x j ] \nabla_{\mathbf{X}} z=\left[\begin{array}{llll} \sum_{j} \frac{\partial z}{\partial y_{j}} & \frac{\partial y_{j}}{\partial x_{1}} & \sum_{j} \frac{\partial z}{\partial y_{j}} \frac{\partial y_{j}}{\partial x_{2}} & \sum_{j} \frac{\partial z}{\partial y_{j}} \frac{\partial y_{j}}{\partial x_{j}} \\ \sum_{j} \frac{\partial z}{\partial y_{j}} \frac{\partial y_{j}}{\partial x_{4}} & \sum_{j} \frac{\partial z}{\partial y_{j}} \frac{\partial y_{j}}{\partial x_{j}} & \sum_{j} \frac{\partial z}{\partial y_{j}} \frac{\partial y_{j}}{\partial x_{0}} \\ \sum_{j} \frac{\partial z}{\partial y_{j}} \frac{\partial y_{j}}{\partial x_{7}} & \sum_{j} \frac{\partial z}{\partial y_{j}} \frac{\partial y_{j}}{\partial x_{8}} & \sum_{j} \frac{\partial z}{\partial y_{j}} \frac{\partial y_{j}}{\partial x_{j}} \end{array}\right] ∇Xz= ∑j∂yj∂z∑j∂yj∂z∂x4∂yj∑j∂yj∂z∂x7∂yj∂x1∂yj∑j∂yj∂z∂xj∂yj∑j∂yj∂z∂x8∂yj∑j∂yj∂z∂x2∂yj∑j∂yj∂z∂x0∂yj∑j∂yj∂z∂xj∂yj∑j∂yj∂z∂xj∂yj
反向传播算法
- 反向传播算法:
- 输入:
- 计算图 G \mathcal{G} G
- 初始化参数向量
u
⃗
∗
\vec{u}^{*}
u∗
。 输出: ∂ u n ∂ u j , j = 1 , 2 , ⋯ , n i \frac{\partial u_{n}}{\partial u_{j}}, j=1,2, \cdots, n_{i} ∂uj∂un,j=1,2,⋯,ni - 运行计算 u n u_{n} un 的前向算法，获取每个节点的值。
- 给出一个 grad_table 表，它存储的是已经计算出来的偏导数。
u i u_{i} ui 对应的表项存储的是偏导数 ∂ u n ∂ u i \frac{\partial u_{n}}{\partial u_{i}} ∂ui∂un 。 - 初始化 grad_table [ u n ] = 1 \left[u_{n}\right]=1 [un]=1 。
- 沿着计算图 B \mathcal{B} B 计算偏导数。遍历 j j j 从 n − 1 n-1 n−1 到 1 :
- 计算
∂
u
u
n
∂
u
j
=
∑
u
i
∈
C
j
∂
u
n
∂
u
i
∂
u
i
∂
u
j
\frac{\partial u_{u_{n}}}{\partial u_{j}}=\sum_{u_{i} \in \mathbb{C}_{j}} \frac{\partial u_{n}}{\partial u_{i}} \frac{\partial u_{i}}{\partial u_{j}}
∂uj∂uun=∑ui∈Cj∂ui∂un∂uj∂ui 。其中：
∂
u
n
∂
u
i
\frac{\partial u_{n}}{\partial u_{i}}
∂ui∂un 是已经存储的 grad_table[ui
]
]
],
∂
u
i
∂
u
j
\frac{\partial u_{i}}{\partial u_{j}}
∂uj∂ui 为实时计算的。
图 G \mathcal{G} G 中的边 u j → u i u_{j} \rightarrow u_{i} uj→ui 定义了一个操作，而该操作的偏导只依赖于这两个变量，因此可以实时求 解 ∂ u i ∂ u j \frac{\partial u_{i}}{\partial u_{j}} ∂uj∂ui 。 - 存储 grad \operatorname{grad} grad _able [ u j ] 。 \left[u_{j}\right]_{\text {。 }} [uj]。
- 逅回 grad table [ u j ] , j = 1 , 2 , ⋯ , n j ^ \operatorname{grad} \operatorname{table}\left[u_{j}\right], j=1,2, \cdots, n_{\hat{j}} gradtable[uj],j=1,2,⋯,nj^ 。
- 反向传播算法计算所有的偏导数，计算量与
G
\mathcal{G}
G 中的边的数量成正比。
其中每条边的计算包括计算偏导数，以及执行一次向量点积。 - 上述反向传播算法为了减少公共子表达式的计算量，并没有考虑存储的开销。这避免了重复子表达式的指数 级的增长。
。 某些算法可以通过对计算图进行简化从而避免更多的子表达式。
。 有些算法会重新认算这些子表达式而不是存储它们，从而节省内存。
参考
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