3. 线性空间
3.12 向量组的秩的应用
【命题3】向量组 α 1 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,...,αs线性无关 ⇔ rank { α 1 , . . . , α s } = s \Leftrightarrow \text{rank}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}=s ⇔rank{α1,...,αs}=s
【证】向量组 α 1 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,...,αs线性无关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔向量组 α 1 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,...,αs本身就是向量组 α 1 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,...,αs的一个极大线性无关组 ⇔ rank { α 1 , . . . , α s } = s \Leftrightarrow \text{rank}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}=s ⇔rank{α1,...,αs}=s
【命题4】向量组(1)可以由向量组(2)线性表出,则
rank
(
1
)
≤
rank
(
2
)
\text{rank}(1)\le\text{rank}(2)
rank(1)≤rank(2)
【证】取向量组(1)的一个极大线性无关组(1)‘,取向量组(2)的一个极大线性无关组(2)’, ( 1 ) ≅ ( 1 ) ′ , ( 2 ) ≅ ( 2 ) ′ (1)\cong (1)',(2)\cong (2)' (1)≅(1)′,(2)≅(2)′,所以(1)'可以由(1)线性表出,又向量组(1)可以由向量组(2)线性表出,又由于(2)可以由(2)'线性表出(极大线性无关组和原向量组互相线性表出),则(1)'可以由(2)'线性表出。(1)'线性无关,根据上节课的推论1,(1)'的所含向量的个数小于等于(2)'的向量个数,即 rank ( 1 ) ≤ rank ( 2 ) \text{rank}(1)\le\text{rank}(2) rank(1)≤rank(2)
【注】【推论1】【引理1的逆否命题】设向量组 { β 1 , β 2 , . . . , β r } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\} {β1,β2,...,βr}可以由 { α 1 , α 2 , . . . , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1,α2,...,αs}线性表出,如果 { β 1 , β 2 , . . . , β r } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\} {β1,β2,...,βr}线性无关,那么 r ≤ s r\le s r≤s
【推论4】等价的向量组有相等的秩。
3.13 线性空间子集线性相关性
设
V
是
\textbf{V}是
V是数域
K
\textbf{K}
K上任意一个线性空间
【定义1】
V
\textbf{V}
V的一个有限子集
{
α
1
,
.
.
.
,
α
s
}
\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}
{α1,...,αs}线性相(无)关
:
⇔
:\Leftrightarrow
:⇔向量组
α
1
,
.
.
.
,
α
s
\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}
α1,...,αs线性相(无)关。
V
\textbf{V}
V的一个无限子集
S
\textbf{S}
S线性相(无)关
:
⇔
S
:\Leftrightarrow\textbf{S}
:⇔S有一个有限子集是线性相关。
从而
V
\textbf{V}
V的无限子集
S
\textbf{S}
S线性无关
:
⇔
S
:\Leftrightarrow\textbf{S}
:⇔S的任何一个有限子集都线性无关。
3.14 线性空间的基
平面上任何一个向量都可以由两个不共线的向量线性表示,则这两个向量称为基。
【定义2】假设
V
\textbf{V}
V是数域
K
\textbf{K}
K上的线性空间,
V
\textbf{V}
V的一个子集
S
\textbf{S}
S如果满足下面两个条件:
(1)
S
\textbf{S}
S是线性无关的;
(2)
V
\textbf{V}
V中任意一个向量可以由
S
\textbf{S}
S中的有限多个向量线性表出。
称
S
\textbf{S}
S是
V
\textbf{V}
V的一个基。
【注】在定义2中,若
S
\textbf{S}
S就是一个有限子集
{
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
s
}
\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}
{α1,α2,...,αs},则向量组
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
s
\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}
α1,α2,...,αs是
V
\textbf{V}
V的一个有序基(向量组是有次序的)。空集
∅
\emptyset
∅定义成线性无关,
{
0
}
\{\boldsymbol{0}\}
{0}的一个基就是空集,即只含零向量的线性空间是空集。
【定理1】任何一个数域上的任一线性空间都有一个基。
(证明是下册的,不作为教学要求)
【定义3】若
V
\textbf{V}
V有一个基是有限子集,则称
V
\textbf{V}
V是有限维的,若
V
\textbf{V}
V有一个基是无限子集,则称
V
\textbf{V}
V是无限维的。
【定理2】若
V
\textbf{V}
V是有限维的(
V
\textbf{V}
V有一个基是有限子集
{
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
n
}
\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}
{α1,α2,...,αn}),则
V
\textbf{V}
V的任意两个基所含向量的个数相等。
【证】 V \textbf{V} V有一个基是有限子集 { α 1 , α 2 , . . . , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1,α2,...,αn},任取 V \textbf{V} V的另外一个基 S \textbf{S} S,用反证法,假如 S \textbf{S} S所含向量的个数 > n >n >n,则 S \textbf{S} S中可取 n + 1 n+1 n+1个(个数大于 n n n,至少有 n + 1 n+1 n+1个向量)向量 β 1 , β 2 , . . . , β n + 1 \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{n+1} β1,β2,...,βn+1,则 β 1 , β 2 , . . . , β n + 1 \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{n+1} β1,β2,...,βn+1可以由基 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn线性表出,因此根据引理1得 β 1 , β 2 , . . . , β n + 1 \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{n+1} β1,β2,...,βn+1线性相关,但是 S \textbf{S} S是基, β 1 , β 2 , . . . , β n + 1 \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{n+1} β1,β2,...,βn+1线性无关,矛盾。
则 S \textbf{S} S所含向量的个数小于等于 n n n
设 S = { β 1 , β 2 , . . . , β m } , m ≤ n \textbf{S}=\{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{m}\},m\le n S={β1,β2,...,βm},m≤n
因为 { β 1 , β 2 , . . . , β m } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{m}\} {β1,β2,...,βm}与 { α 1 , α 2 , . . . , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1,α2,...,αn}都是基,则二者可以互相线性表出且它们都是线性无关的,即 { β 1 , β 2 , . . . , β m } ≅ { α 1 , α 2 , . . . , α n } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{m}\}\cong \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {β1,β2,...,βm}≅{α1,α2,...,αn}
由等价的线性无关的向量组它们所含的向量个数相等
则 m = n m=n m=n
证毕.
【注】【引理1】设向量组 { β 1 , β 2 , . . . , β r } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\} {β1,β2,...,βr}可以由向量组 { α 1 , α 2 , . . . , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1,α2,...,αs}线性表出,如果 r > s r>s r>s,那么 { β 1 , β 2 , . . . , β r } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\} {β1,β2,...,βr}一定线性相关。
【推论1】若
V
\textbf{V}
V是无限维的线性空间,则
V
\textbf{V}
V的任何一个基都是无限子集。
【证】用反证法,假如
V
\textbf{V}
V有一个基是有限子集,则根据定理2的证明知,
V
\textbf{V}
V的任何一个基所含向量个数都为
n
n
n,这与
V
\textbf{V}
V是无限维的矛盾。
3.15 线性空间的维数
【定义4】设
V
\textbf{V}
V是有限维的,则把
V
\textbf{V}
V的一个基所含向量的个数称为
V
\textbf{V}
V的维数,记作
dim
K
V
\dim_{\textbf{K}}\textbf{V}
dimKV或
dim
V
\dim\textbf{V}
dimV,若
V
\textbf{V}
V是无限维的,把
V
\textbf{V}
V的维数记作
dim
V
=
∞
\dim \textbf{V}=\infty
dimV=∞,只含零向量的线性空间
{
0
}
\{\boldsymbol{0}\}
{0}的维数为0.
【命题1】设
V
\textbf{V}
V是
n
n
n维线性空间,即
dim
V
=
n
\dim \textbf{V}=n
dimV=n,则
V
\textbf{V}
V中任意
n
+
1
n+1
n+1个向量都线性相关。(根据定理2的证明过程就能得到)
【定义】设
dim
V
=
n
\dim \textbf{V}=n
dimV=n,取
V
\textbf{V}
V的一个基
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
n
\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}
α1,α2,...,αn,则
V
\textbf{V}
V中任一向量
α
=
a
1
α
1
+
a
2
α
2
+
.
.
.
+
a
n
α
n
\boldsymbol\alpha=a_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+a_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+...+a_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}
α=a1α1+a2α2+...+anαn,又因为基是线性无关的,且表出方式唯一,把它的系数组成列向量
(
a
1
a
2
⋮
a
n
)
\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}
a1a2⋮an
记作
α
\boldsymbol\alpha
α在基
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
n
\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}
α1,α2,...,αn下的坐标。
【例】几何空间中三个不共面的向量就是一个基。从而几何空间是3维的;过顶点
O
O
O的平面
π
\pi
π是2维的;过顶点
O
O
O的任意一条直线
l
l
l,过顶点
O
O
O的直线
l
l
l是1维的。
3.16 线性无关向量组与基
【例】数域
K
n
\textbf{K}^{n}
Kn中,向量组
ε
1
=
(
1
0
⋮
0
)
,
ε
2
=
(
0
1
⋮
0
)
,
.
.
.
,
ε
n
=
(
0
0
⋮
1
)
\boldsymbol\varepsilon_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\boldsymbol\varepsilon_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},...,\boldsymbol\varepsilon_{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}
ε1=
10⋮0
,ε2=
01⋮0
,...,εn=
00⋮1
是线性无关的。(拼起来成矩阵求行列式,行列式不等于0,线性无关,或者从线性无关定义也可证明)
α
=
(
a
1
0
⋮
0
)
=
(
0
a
2
⋮
0
)
+
(
0
0
⋮
a
n
)
+
.
.
.
+
(
a
1
a
2
⋮
a
n
)
=
a
1
ξ
1
+
a
2
ξ
2
+
.
.
.
+
a
n
ξ
n
\boldsymbol\alpha=\begin{pmatrix} a_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ a_2 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}+...+\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}=a_{1}\boldsymbol{\xi}_{1}+a_{2}\boldsymbol{\xi}_{2}+...+a_{n}\boldsymbol{\xi}_{n}
α=
a10⋮0
=
0a2⋮0
+
00⋮an
+...+
a1a2⋮an
=a1ξ1+a2ξ2+...+anξn
因此
ξ
1
,
ξ
2
,
.
.
.
,
ξ
n
\boldsymbol{\xi}_{1},\boldsymbol{\xi}_{2},...,\boldsymbol{\xi}_{n}
ξ1,ξ2,...,ξn是
K
n
\textbf{K}^{n}
Kn的一个基(称为标准基),任意一个向量
α
\boldsymbol\alpha
α在这个基下的坐标为
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
=
α
(a_{1},a_{2},...,a_{n})=\boldsymbol\alpha
(a1,a2,...,an)=α
【命题2】
dim
V
=
n
\dim \textbf{V}=n
dimV=n,则
V
\textbf{V}
V中任意
n
n
n个线性无关的向量都是
V
\textbf{V}
V的一个基。
【证】设
α
1
,
.
.
.
,
α
n
\boldsymbol\alpha_{1},...,\boldsymbol\alpha_{n}
α1,...,αn线性无关,任取
β
∈
V
\boldsymbol\beta\in\textbf{V}
β∈V,则根据命题1
α
1
,
.
.
.
,
α
n
,
β
\boldsymbol\alpha_{1},...,\boldsymbol\alpha_{n},\boldsymbol\beta
α1,...,αn,β线性相关,根据第三节命题2,
V
\textbf{V}
V中任意一个向量
β
\boldsymbol\beta
β可以由
α
1
,
.
.
.
,
α
n
\boldsymbol\alpha_{1},...,\boldsymbol\alpha_{n}
α1,...,αn线性表出,因此
α
1
,
.
.
.
,
α
n
\boldsymbol\alpha_{1},...,\boldsymbol\alpha_{n}
α1,...,αn就是
V
\textbf{V}
V的一个基
【注】第三节命题2:设向量组
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
s
\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}
α1,α2,...,αs线性无关,如果将
β
\boldsymbol{\beta}
β添加到上述向量组成为一个新的向量组
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
s
,
β
\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s},\boldsymbol{\beta}
α1,α2,...,αs,β,这个新的向量组如果线性相关,那么
β
\beta
β可以由向量组
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
s
\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}
α1,α2,...,αs线性表出。
【命题3】设
dim
V
=
n
\dim\textbf{V}=n
dimV=n,若
V
\textbf{V}
V中每一个向量可以由向量组
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
n
\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}
α1,α2,...,αn线性表出,则
α
1
,
α
2
,
.
.
.
,
α
n
\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}
α1,α2,...,αn是
V
\textbf{V}
V的一个基。
【证】取 V \textbf{V} V的一个基 δ 1 , . . . , δ n \boldsymbol{\delta}_{1},...,\boldsymbol{\delta}_{n} δ1,...,δn,由已知条件, δ 1 , . . . , δ n \boldsymbol{\delta}_{1},...,\boldsymbol{\delta}_{n} δ1,...,δn可以由 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn线性表出,于是 rank { δ 1 , . . . , δ n } ≤ rank { α 1 , α 2 , . . . , α n } \text{rank}\{\boldsymbol{\delta}_{1},...,\boldsymbol{\delta}_{n}\}\le \text{rank}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} rank{δ1,...,δn}≤rank{α1,α2,...,αn}
由于 δ 1 , . . . , δ n \boldsymbol{\delta}_{1},...,\boldsymbol{\delta}_{n} δ1,...,δn是基,则其线性无关,即 n = rank { δ 1 , . . . , δ n } ≤ rank { α 1 , α 2 , . . . , α n } ≤ n n=\text{rank}\{\boldsymbol{\delta}_{1},...,\boldsymbol{\delta}_{n}\}\le \text{rank}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}\le n n=rank{δ1,...,δn}≤rank{α1,α2,...,αn}≤n
所以 rank { α 1 , α 2 , . . . , α n } = n \text{rank}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}\}=n rank{α1,α2,...,αn}=n
从而 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn线性无关,又因为 V \textbf{V} V中每一个向量可以由向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn线性表出
因此 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn是 V \textbf{V} V的一个基。
【命题4】设 dim V = n \dim \textbf{V}=n dimV=n,则 V \textbf{V} V中任意一个线性无关的向量组都可以扩充成 V \textbf{V} V的一个基。
【证】设 α 1 , α 2 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,...,αs线性无关
若 s = n s=n s=n,则根据命题2 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn就是 V \textbf{V} V的一个基;
若 s < n s<n s<n,则 α 1 , α 2 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,...,αs不是一个基,从而 V \textbf{V} V中有向量 β 1 \boldsymbol\beta_{1} β1不能由 α 1 , α 2 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,...,αs线性表出,于是 α 1 , α 2 , . . . , α s , β 1 \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s},\boldsymbol\beta_{1} α1,α2,...,αs,β1必定线性无关(因为如果它线性相关,又 α 1 , α 2 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,...,αs线性无关,则 β 1 \boldsymbol\beta_{1} β1可由 α 1 , α 2 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,...,αs线性表出,与 β 1 \boldsymbol\beta_{1} β1不能由 α 1 , α 2 , . . . , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,...,αs线性表出矛盾)
若 s + 1 < n s+1<n s+1<n,依次下去,找到一个线性无关的就添进来,直到向量个数为 n n n, α 1 , α 2 , . . . , α s , β 1 , . . . , β r \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s},\boldsymbol\beta_{1},...,\boldsymbol\beta_{r} α1,α2,...,αs,β1,...,βr线性无关
且 s + r = n s+r=n s+r=n,因此 α 1 , α 2 , . . . , α s , β 1 , . . . , β r \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s},\boldsymbol\beta_{1},...,\boldsymbol\beta_{r} α1,α2,...,αs,β1,...,βr是 V \textbf{V} V的一个基。
【命题5】设
dim
V
,
W
\dim\textbf{V},\textbf{W}
dimV,W是
V
\textbf{V}
V的一个子空间,则
dim
W
≤
dim
V
\dim\textbf{W}\le\dim\textbf{V}
dimW≤dimV
若
dim
W
=
dim
V
\dim\textbf{W}=\dim\textbf{V}
dimW=dimV在,则
W
=
V
\textbf{W}=\textbf{V}
W=V
【证】根据命题4,取 W \textbf{W} W一个基 α 1 , α 2 , . . . , α m \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{m} α1,α2,...,αm可以扩充成 V \textbf{V} V的一个基础,即 α 1 , α 2 , . . . , α m , α m + 1 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{m},\boldsymbol\alpha_{m+1},...,\boldsymbol\alpha_{n} α1,α2,...,αm,αm+1,...,αn即 dim W ≤ dim V \dim\textbf{W}\le\dim\textbf{V} dimW≤dimV
再证若 dim W = dim V \dim\textbf{W}=\dim\textbf{V} dimW=dimV在,则 W = V \textbf{W}=\textbf{V} W=V
W \textbf{W} W中一个基 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn,从而 α 1 , α 2 , . . . , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,...,αn是 V \textbf{V} V的一个基,于是 V \textbf{V} V中任一向量 β = b 1 α 1 + . . . + b n α n ∈ W \boldsymbol\beta=b_{1}\boldsymbol\alpha_{1}+...+b_{n}\boldsymbol\alpha_{n}\in\textbf{W} β=b1α1+...+bnαn∈W,从而 V ⊂ W \textbf{V}\subset\textbf{W} V⊂W又 W ⊂ V \textbf{W}\subset\textbf{V} W⊂V,所以 V = W \textbf{V}=\textbf{W} V=W
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