物理学基础精解【30】

微分

导数

导数是微积分中的一个基本概念，用于描述函数在某一点上的变化率。它表示函数值随自变量变化的快慢程度，即函数在某一点上的切线斜率。导数的定义及计算方法是微积分学的基础，对于理解物理、经济、工程等众多领域中的变化过程具有重要意义。

一、导数的定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$（$\Delta x$ 可正可负，但 $\Delta x\ne 0$）时，函数 $y$ 取得相应的增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。如果 $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 之比当 $\Delta x\to 0$ 时的极限存在，即

${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

存在，则称这个极限值为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记作 $f^{\prime }(x_0)$ 或 $y^{\prime }{|}_{x=x_0}$。

二、导数的几何意义

函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime }(x_0)$ 在几何上表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线斜率。切线斜率反映了曲线在该点上的瞬时变化率。

三、导数的计算

1. 基本初等函数的导数公式：

   • $(C{)}^{\prime }=0$（$C$ 为常数）
   • $(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$（$a$ 为实数）
   • $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
   • $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
   • $(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
   • $(\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$
   • $(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$
   • $(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$
   • $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$（$a>0$ 且 $a\ne 1$）
   • $(e^x{)}^{\prime }=e^x$
   • $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$（$a>0$ 且 $a\ne 1$）
   • $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

2. 导数的运算法则：

   • 和差法则：$[f(x)\pm g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$
   • 积法则：$[f(x)\cdot g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$
   • 商法则：${\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$（$g(x)\ne 0$）

3. 复合函数的导数：

设 $u=g(x)$ 是可导函数，$y=f(u)$ 也是可导函数，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 的导数为

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

即 $y^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)$。

四、导数的应用

1. 求曲线的切线方程：利用导数可以求出曲线在任意点处的切线方程。
2. 求函数的单调性和极值：通过判断导数的正负可以确定函数的单调性，进而求出函数的极值。
3. 求函数的凹凸性和拐点：利用二阶导数可以判断函数的凹凸性，并求出函数的拐点。
4. 求解实际问题：导数在物理、经济、工程等领域有广泛应用，如求解速度、加速度、边际成本、边际收益等问题。

综上所述，导数是微积分学中的重要概念，它不仅具有深刻的理论意义，而且在实际应用中发挥着重要作用。

微分的定义

微分的定义可以从多个角度进行阐述，但核心思想是一致的。

一、基本概念

微分是微积分学中的一个基本概念，它描述了函数在某个变化过程中的改变量的线性主要部分。简单地说，微分就是用来近似局部曲线的直线段，但并非所有直线都能用来近似曲线，它需要满足一定的条件。当函数自变量的变化量足够小时，微分能够非常接近函数实际的变化量。

二、数学定义

在数学中，微分有严格的定义。设函数$B=f(A)$，得到A、B两个数集。在A中，当自变量dx（或称为微分元）靠近某一特定值（如$x_0$）时，函数在dx处的极限被称为函数在dx处的微分。这个定义体现了微分的中心思想——无穷分割，即通过将变化量分割成无限小的部分来逼近真实的函数变化。

三、具体形式

对于一元函数$y=f(x)$，若函数在点$x_0$处有导数$f^{\prime }(x_0)$存在，则函数因$x$的变化量$\Delta x$所引起的改变量$\Delta y$可以表示为：

$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot \Delta x+o(\Delta x)$$

其中，$o(\Delta x)$是随$\Delta x$趋于0而趋于0的高阶无穷小量。因此，$\Delta y$的线性形式的主要部分$dy=f^{\prime }(x_0)\cdot \Delta x$就是函数在点$x_0$处的微分。通常，我们将自变量的微分记作$dx=\Delta x$，于是函数的微分又可表示为$dy=f^{\prime }(x)dx$。

四、几何意义

在几何上，微分具有直观的意义。对于曲线$y=f(x)$上的某一点M，其微分$dy$表示曲线在点M处的切线段对应的纵坐标上的增量。当$\Delta x$非常小时，$dy$与曲线段的实际增量$\Delta y$非常接近。因此，在点M附近，可以用切线段来近似代替曲线段。

五、与导数的关系

微分与导数密切相关。事实上，函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数，即$\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x)$。这表明微分和导数在本质上是同一数学概念的两种不同表现形式。微分侧重于描述函数值的变化量及其线性近似，而导数则侧重于描述函数值的变化率。

综上所述，微分是微积分学中的一个基本概念，它描述了函数在某个变化过程中的改变量的线性主要部分。通过微分，我们可以近似地描述函数在局部的变化情况，进而解决各种与函数变化相关的数学和实际问题。

可微性与连续性

是函数性质中的两个重要概念，它们在数学分析、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。以下是可微性与连续性之间关系的详细阐述：

一、连续性的定义

在数学中，连续性是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数。

具体地说，对于函数$f(x)$，如果对于给定点$c$，以下条件成立：

1. $f(c)$存在（函数在点$c$有定义）。
2. ${\lim }_{x\to c}f(x)$存在，即极限存在。
3. ${\lim }_{x\to c}f(x)=f(c)$，即极限与函数值相等。

如果这三个条件都满足，那么我们说函数$f(x)$在点$c$处连续。如果函数在其定义域内的每个点都连续，我们称函数在整个定义域上是连续的。

二、可微性的定义

可微性描述了函数在某一点或某一邻域内的性质，以及函数增量与自变量增量之间的关系。对于一元函数$f(x)$，若其在某点$x_0$的邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处有一个增量$\Delta x$（且$\Delta x\ne 0$）时，相应地函数值有一个增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。如果存在一个常数$A$（该常数与$\Delta x$无关），使得$\Delta y$可以表示为$A\Delta x+o(\Delta x)$的形式，其中$o(\Delta x)$是比$\Delta x$高阶的无穷小量，则称函数$f(x)$在点$x_0$处可微。此时，$A\Delta x$被称为函数$f(x)$在点$x_0$处的微分，记作$dy$或$df(x_0)$。

对于多元函数，可微性的定义类似，但需要考虑更多个自变量的增量以及它们对函数值增量的影响。

三、可微性与连续性的关系

1. 可微一定连续：由于可微性要求函数在某点的增量可以表示为自变量增量的线性组合加上一个高阶无穷小量，这意味着函数在该点的极限存在且与函数值相等，因此可微的函数一定是连续的。

2. 连续不一定可微：连续性只要求函数在某点的极限存在且与函数值相等，并不要求函数在该点可导或可微。因此，存在连续但不可微的函数。

四、结论

综上所述，可微性是连续性的更高级别性质。一个函数在某点可微意味着它在该点连续且光滑，但连续的函数不一定可微。这种关系在数学分析中具有重要意义，有助于我们更深入地理解函数的性质和行为。

反函数的导数和隐函数的导数

反函数的导数

设 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上单调、可导，且 $f^{\prime }(x)\ne 0$。那么，它的反函数 $x=\phi (y)$ 在对应的区间 $J$ 上也可导，并且其导数为：

${\phi }^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$或者，换成更直观的表达方式，如果 $y=f(x)$，那么 $x$ 关于 $y$ 的导数（即反函数的导数）为：

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$这里需要注意的是，反函数的导数存在的前提是原函数在该区间内单调且其导数不为0。

隐函数的导数

隐函数是相对于显函数来说的，如果一个函数由方程给定，且方程中同时含有自变量和因变量的隐式关系，而非直接给出因变量关于自变量的表达式，这样的函数称为隐函数。对于隐函数的导数，我们通常使用链式法则和隐函数定理来求解。

一、单一变量的隐函数导数

对于形式为 $F(x,y)=0$ 的隐函数，要求 $\frac{dy}{dx}$，我们可以对方程两边同时关于 $x$ 求导，得到：

$\frac{d}{dx}F(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dx}=0$

从上式中解出 $\frac{dy}{dx}$，即：

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$

二、多变量的隐函数导数

对于形式为 $F(x,y,z)=0$ 的隐函数，要求 $\frac{dz}{dx}$ 和 $\frac{dz}{dy}$，我们可以对方程两边同时关于 $x$ 和 $y$ 分别求导。

1. 对 $x$ 求导：

$\frac{d}{dx}F(x,y,z)=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\cdot \frac{dz}{dx}=0$

解得：

$\frac{dz}{dx}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}$

2. 对 $y$ 求导：

$\frac{d}{dy}F(x,y,z)=\frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z}\cdot \frac{dz}{dy}=0$

解得：

$\frac{dz}{dy}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}$

三、注意事项

1. 在求解隐函数的导数时，需要确保分母不为零，即偏导数 $\frac{\partial F}{\partial y}$ 或 $\frac{\partial F}{\partial z}$ 不为零。
2. 隐函数定理给出了隐函数存在且可导的充分条件，但在实际应用中，通常直接利用偏导数来求解。
3. 对于更复杂的隐函数，可能需要利用高阶导数或链式法则来求解。

四、示例

设隐函数为 $x^2+y^2=z^2$，求 $\frac{dz}{dx}$ 和 $\frac{dz}{dy}$。

1. 对 $x$ 求导：

$2x+2y\frac{dy}{dx}=2z\frac{dz}{dx}$

由于 $y$ 是 $x$ 的隐函数，这里我们不能直接求出 $\frac{dy}{dx}$，但我们可以将其表示为 $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\frac{dz}{dx}$（由 $x^2+y^2=z^2$ 对 $y$ 求导得到的关系式，但此处我们暂不需要这个关系式来求解 $\frac{dz}{dx}$）。然而，在这个特定的问题中，我们可以直接将 $y$ 看作常数（因为我们对 $x$ 求导时，$y$ 是相对于 $x$ 的变量，但在这一步中我们暂时不考虑 $y$ 对 $x$ 的依赖关系），从而得到：

$\frac{dz}{dx}=\frac{x}{z}$

同理，对 $y$ 求导时，我们可以将 $x$ 看作常数，得到：

$\frac{dz}{dy}=\frac{y}{z}$

注意：这里的解法是一种简化的方法，因为在某些情况下，直接对原方程求导并解出导数是可行的。更严格的方法是使用隐函数定理和偏导数来求解。

参考文献

1. 文心一言