数据结构——二叉树

1.树

树是一种非线性的数据结构，它是由 n 个有限结点组成的一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树。

——有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。

——除了根结点之外，其余结点被分为M个互不相交的集合，其中每一个集合又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或者多个后继。因此，树是递归定义的。

——树形结构中，⼦树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

 例如：

（注：该图片来自于百度）

1.1 各种概念

——父结点/双亲结点：若⼀个结点含有⼦结点，则这个结点称为其⼦结点的⽗结点。

——子结点/孩子结点：⼀个结点含有的⼦树的根结点称为该结点的⼦结点。

——结点的度：有几个孩子，就为几度。

——树的度：最大结点的度就为树的度。

——叶子结点/终端结点：度为0的结点就为叶子结点。

——分支结点/非终端结点：度不为0的结点。

——兄弟结点：具有相同的父结点。

——结点的层次：有几层层次就为多少。

——树的高度/深度：树的最大层次。

——结点的祖先：从根结点到该结点所经分支上的所有结点。

——路径：⼀条从树中任意节点出发，沿⽗节点-⼦节点连接，达到任意节点的序列。

——子孙：以某结点为根的⼦树中任⼀结点都称为该结点的⼦孙。

——森林：由多棵互不相交的树组成的。

1.2 树的表示

用孩子兄弟表示法：

struct TreeNode
{
	struct Node* child;   //左边开始的第一个孩子的结点
	struct Node* brother; //指向其右边的下一个兄弟结点
	int data;             //结点中的数据域
};

用图片来进行分析：

（注：上述图片来自于比特就业课）

通过上述的图片我们可以比较清晰地了解该方法。

1.3 应用

2.二叉树

2.1 概念与结构

二叉树是树形结构的一种。

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

例如：

（注：该图片来自于比特就业课）

二叉树的特点：

——二叉树不存在度大于2的结点

——二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.2 特殊的二叉树

2.2.1 满二叉树

每一层的结点都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。结点的总数就是 2^k - 1

（注：图片来自于百度）

2.2.2 完全二叉树

（注：图片来自比特就业课）

则该结构的特点是：假设二叉树的层次为K层，则除了第K层外，每层结点的个数达到最大结点数，第K层不一定达到最大结点数。

且完全二叉树结点的顺序是从左到右顺序放置的。

2.3 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储：一种是顺序结构，一种是链式结构。

2.3.1 顺序结构

顺序结构是使用数组来进行存储的，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费，完全二叉树使用顺序结构进行存储。

2.3.2 链式结构

3.实现数据结构二叉树

堆是一种特殊的二叉树，具有二叉树的特性的同时，还具备其他的特性。

3.1 堆的概念与结构

分为小跟堆和大根堆，我们通过图片来进行了解：

堆具有以下的性质：

——堆中某个结点的值总是不大于或者不小于其父结点的值

——堆总是一棵完全二叉树

二叉树的性质：

对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下、从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号（例如上述的图片），则对于序号为i的结点有：

 1）若i > 0 , i 位置结点的双亲序号为：( i - 1 ) / 2 ；i = 0， i为根结点编号，无双亲编号。

 2）若2i + 1 < n，左孩子序号：2i + 1，2i + 1 >= n，否则无左孩子。

 3）若2i + 2 < n，右孩子序号：2i + 2，2i + 2 >= n，否则无右孩子。

3.2 堆的实现

3.2.1 堆的初始化与销毁

与前几次实现基本相同，这里省略分析过程。最终的代码会汇合在一起。

3.2.2 堆数据的插入

 由于插入的数据是随机的，我们不确定插入数据的大小，而大堆和小堆之间的数据的顺序是有一定规律的，因此，我们要通过适当的方法来进行插入。用堆的向上调整方法。

这里对于堆的向上调整算法不再做过多的介绍，直接上代码：

void Swap(int* x, int* y)
{
	int tmp = *x;
	*x = *y;
	*y = tmp;
}

void AdustUp(HPDataType* arr, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)//不需要等于0，child只要走到了根结点的位置，根结点不需要交换了
	{
		if (arr[child] < arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
	
}

void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);
	//判断空间是否足够
	if (php->capacity == php->size)
	{
		//扩容
		int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->arr, newCapacity * sizeof(HPDataType));
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail!");
			exit(1);
		}
		php->arr = tmp;
		php->capacity = newCapacity;
	}
	php->arr[php->size] = x;
	AdustUp(php->arr, php->size);

	++php->size;
}

3.2.3 堆数据的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

与之前不同的是，在堆的删除中，我们删除的是堆顶的数据。

代码如下：

void AdjustDown(HPDataType* arr, int parent, int n)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		//找左右孩子中最小的那一个
		if (child + 1 < n && arr[child] > arr[child + 1])
		{
			child++;
		}
		if (arr[child] < arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HPPop(HP* php)
{
	assert(php && php->size);
	Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size - 1]);
	--php->size;

	AdjustDown(php->arr, 0, php->size);
}