Python和R及Julia妊娠相关疾病生物剖析算法

要点

1. 算法使用了矢量投影、现代优化线性代数、空间分区技术和大数据编程
2. 利用相应向量空间中标量积和欧几里得距离的紧密关系来计算
3. 使用妊娠相关疾病（先兆子痫）、健康妊娠和癌症测试算法模型
4. 使用相关性投影利用相关性和欧几里得距离之间的关系

语言内容分比

Python线性组合可视化

考虑 $R^2$ 中的两个向量 $u$ 和 $v$，它们彼此独立，即不指向相同或相反的方向。因此，$R^2$ 中的任何向量都可以用 $u$ 和 $v$ 的线性组合来表示。例如，这是一个线性组合，本质上是一个线性系统。
$$c_1\left[\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 10\end{array}\right]$$

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import sympy as sy

sy.init_printing()

A = sy.Matrix([[4, -2, 2], [2, 2, 10]])
A.rref()

$\left(\left[\begin{array}{lll}1& 0& 2\\ 0& 1& 3\end{array}\right],(0,1)\right)$

解是 ${\left(c_1,c_2\right)}^T=(2,3{)}^T$，这意味着 2 次 $\left[\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}\right]$ 和 3 次 $\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right]$ 相加等于 $\left[\begin{array}{c}2\\ 10\end{array}\right]$。

计算向量的斜率，即 $\frac{y}{x}$ ：
$$s_1=\frac{y}{x}=\frac{2}{4}=0.5s_2=\frac{y}{x}=\frac{2}{-2}=-1$$
基础可以构建为：
$$y_1=a+0.5x{y}_2=b-x$$
其中$a$和$b$将被设置为具有规则间隔的常数，例如$(2.5,5,7.5,10)$。

基础的坐标以粉色网状网格表示，其中每个线段都是“新”坐标中的一个单位（如笛卡尔坐标系中的 1 ）。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
vectors = np.array(
    [[[0, 0, 4, 2]], [[0, 0, -2, 2]], [[0, 0, 2, 10]], [[0, 0, 8, 4]], [[0, 0, -6, 6]]]
)
colors = ["b", "b", "r", "b", "b"]

for i in range(vectors.shape[0]):
    X, Y, U, V = zip(*vectors[i, :, :])
    ax.quiver(
        X, Y, U, V, angles="xy", scale_units="xy", color=colors[i], scale=1, alpha=0.6
    )
    ax.text(
        x=vectors[i, 0, 2],
        y=vectors[i, 0, 3],
        s="$(%.0d, %.0d)$" % (vectors[i, 0, 2], vectors[i, 0, 3]),
        fontsize=16,
    )

points12 = np.array([[8, 4], [2, 10]])
ax.plot(points12[:, 0], points12[:, 1], color="b", lw=3.5, alpha=0.5, ls="--")

points34 = np.array([[-6, 6], [2, 10]])
ax.plot(points34[:, 0], points34[:, 1], color="b", lw=3.5, alpha=0.5, ls="--")

ax.set_xlim([-10, 10])
ax.set_ylim([0, 10.5])
ax.set_xlabel("x-axis", fontsize=16)
ax.set_ylabel("y-axis", fontsize=16)
ax.grid()

a = np.arange(-11, 20, 1)
x = np.arange(-11, 20, 1)

for i in a:
    y1 = i + 0.5 * x
    ax.plot(x, y1, ls="--", color="pink", lw=2)
    y2 = i - x
    ax.plot(x, y2, ls="--", color="pink", lw=2)

ax.set_title(
    r"Linear Combination of Two Vectors in $\mathbf{R}^2$", size=22, x=0.5, y=1.01
)

plt.show()

我们还可以证明，$R^3$ 中的任何向量都可以是笛卡尔坐标系中标准基的线性组合。这是从标准基础绘制 3D 线性组合的函数，我们只需输入标量乘数。

def linearCombo(a, b, c):
    fig = plt.figure(figsize=(10, 10))
    ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")

    vec = np.array(
        [
            [[0, 0, 0, 1, 0, 0]],  
            [[0, 0, 0, 0, 1, 0]],  
            [[0, 0, 0, 0, 0, 1]],  
            [[0, 0, 0, a, 0, 0]],  
            [[0, 0, 0, 0, b, 0]], 
            [[0, 0, 0, 0, 0, c]],  
            [[0, 0, 0, a, b, c]],
        ]
    )  
    colors = ["b", "b", "b", "r", "r", "r", "g"]
    for i in range(vec.shape[0]):
        X, Y, Z, U, V, W = zip(*vec[i, :, :])
        ax.quiver(
            X,
            Y,
            Z,
            U,
            V,
            W,
            length=1,
            normalize=False,
            color=colors[i],
            arrow_length_ratio=0.08,
            pivot="tail",
            linestyles="solid",
            linewidths=3,
            alpha=0.6,
        )

    dlines = np.array(
        [
            [[a, 0, 0], [a, b, 0]],
            [[0, b, 0], [a, b, 0]],
            [[0, 0, c], [a, b, c]],
            [[0, 0, c], [a, 0, c]],
            [[a, 0, c], [a, b, c]],
            [[0, 0, c], [0, b, c]],
            [[0, b, c], [a, b, c]],
            [[a, 0, 0], [a, 0, c]],
            [[0, b, 0], [0, b, c]],
            [[a, b, 0], [a, b, c]],
        ]
    )
    colors = ["k", "k", "g", "k", "k", "k", "k", "k", "k"]
    for i in range(dlines.shape[0]):
        ax.plot(
            dlines[i, :, 0],
            dlines[i, :, 1],
            dlines[i, :, 2],
            lw=3,
            ls="--",
            color="black",
            alpha=0.5,
        )

    ax.text(x=a, y=b, z=c, s=" $(%0.d, %0.d, %.0d)$" % (a, b, c), size=18)
    ax.text(x=a, y=0, z=0, s=" $%0.d e_1 = (%0.d, 0, 0)$" % (a, a), size=15)
    ax.text(x=0, y=b, z=0, s=" $%0.d e_2 = (0, %0.d, 0)$" % (b, b), size=15)
    ax.text(x=0, y=0, z=c, s=" $%0.d e_3 = (0, 0, %0.d)$" % (c, c), size=15)

    ax.grid()
    ax.set_xlim([0, a + 1])
    ax.set_ylim([0, b + 1])
    ax.set_zlim([0, c + 1])

    ax.set_xlabel("x-axis", size=18)
    ax.set_ylabel("y-axis", size=18)
    ax.set_zlabel("z-axis", size=18)

    ax.set_title("Vector $(%0.d, %0.d, %.0d)$ Visualization" % (a, b, c), size=20)

    ax.view_init(elev=20.0, azim=15)


if __name__ == "__main__":
    a = 7
    b = 4
    c = 9
    linearCombo(a, b, c)

不一致系统意味着不存在唯一解。将不一致系统的解视为线性组合似乎很奇怪，但它本质上代表了一条线的轨迹。我们将从线性组合的角度探讨解的含义。

考虑此系统：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ -2& 0& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ -3\\ 1\end{array}\right]$$
Python解

A = sy.Matrix([[1, 1, 2, 1], [-2, 0, 1, -3], [1, 1, 2, 1]])
A.rref()

$\left(\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -\frac{1}{2}& \frac{3}{2}\\ 0& 1& \frac{5}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],(0,1)\right)$

由于自由变量的存在，该解不是唯一的：
$$c_1-\frac{1}{2}{c}_3=\frac{3}{2}{c}_2+\frac{5}{2}{c}_3=-\frac{1}{2}{c}_3=\text{ 自由变量 }$$
令 $c_3=t$，系统可以参数化：
$$\left[\begin{array}{l}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t\\ -\frac{1}{2}-\frac{5}{2}t\\ t\end{array}\right]$$
该解是一条无限长的线，为了将其形象化，我们设置 $t\in (-1,1)$ 的范围，解如下所示：

fig = plt.figure(figsize=(8, 8))
ax = fig.add_subplot(projection="3d")

t = np.linspace(-1, 1, 10)
c1 = 3 / 2 + t / 2
c2 = -1 / 2 - 5 / 2 * t

ax.plot(c1, c2, t, lw=5)

ax.set_xlabel("x-axis", size=18)
ax.set_ylabel("y-axis", size=18)
ax.set_zlabel("z-axis", size=18)

ax.set_title("Solution of A Linear System with One Free Variable", size=18)
plt.show()

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