约数个数&约数之和

好久没发文章了.......不过粉丝还是一个没少......

 今天来看两道超级恶心的数论题目！

No.1 约数个数

No.2 约数之和

先来看第一道：约数个数

题目描述

给定 n 个正整数 ai​,请你输出这些数的乘积的约数个数,答案对 10^9+7 取模

输入格式

第一行包含整数 n
接下来 n 行,每行包含一个整数 ai

输出格式

输出一个整数,表示所给正整数的乘积的约数个数,答案需对 10^9+7 取模

输入样例

3
2
6
8

输出样例

12

数据范围

对于全部的数据1≤n≤100,1≤ai≤2×10^9

思路：

用因数个数定理，注意取模（你不会想全乘起来吧？小心一分没有）

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
map<int,int>cnt;
const int MOD=1e9+7;
signed main()
{
    int n;
    cin >> n; 
    while(n--) 
    {
        int a;
        cin >> a;
        for(int i=2;1LL*i*i<=a;i++) 
        {

            while(a%i==0) 
            {
                cnt[i]++,a/=i;
            }
        }
        if(a!=1)
        {
            cnt[a]++; 
        }
    }
    long long ans=1;
    for(auto && i : cnt)
    {
        ans=(ans%MOD)*(i.second+1)%MOD;
    }
    cout<<ans; 
    return 0;
}

第二道：约数之和

题目描述

给定 n 个正整数 ai​,请你输出这些数的乘积的约数之和,答案对 10^9+7 取模

输入格式

第一行包含整数 n
接下来 n 行,每行包含一个整数 ai​

输出格式

输出一个整数,表示所给正整数的乘积的约数之和,答案需对 10^9+7 取模

输入样例

3
2
6
8

输出样例

252

数据范围

对于全部的数据1≤n≤100,1≤ai≤2×10^9

思路：

用因数和定理，注意取模

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
map<int,int>cnt;
const int MOD=1e9+7;
signed main()
{
    int n;
    cin >> n; 
    while(n--) 
    {
        int a;
        cin >> a;
        for(int i=2;1LL*i*i<=a;i++) 
        {

            while(a%i==0) 
            {
                cnt[i]++,a/=i;
            }
        }
        if(a!=1)
        {
            cnt[a]++; 
        }
    }
    long long ans=1;
    for(auto && i : cnt)
    {
        long long t=1,sum=0;
        for(int j=0;j<=i.second;j++)
        {
            sum=(sum+t)%MOD;
            t=t*i.first%MOD;
        }
        ans=ans*sum%MOD;
    }
    cout<<ans; 
    return 0;
}