线性代数杂谈(2)——逆，转置与置换矩阵

本文章将会围绕着矩阵的逆与转置这两种运算讲述，旨在通过此加深你对矩阵的理解与进一步熟悉这两种运算。

矩阵的逆

$A{A}^{-1}=I$
方阵$A$（注意：只有方阵才存在逆的概念）乘方阵$A^{-1}$的带单位矩阵$I$，我们就说矩阵$A^{-1}$是矩阵$A$的逆。

从另一个更深的角度理解，矩阵的逆即是还原操作，用MIT教授的话比喻，就像穿上袜子后要脱下袜子的操作一样。下面我们来看一个例子：

$$\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}$$

这个矩阵是我们熟悉的消元矩阵，即$E_{2,1}$，用以产生(2,1)处的0，具体代表操作是（左乘）将矩阵A的第二行变为-2倍的第一行加上1倍的第二行的线性组合。

那么这个消元矩阵的逆你是否能直接想出来呢？矩阵的逆如下：

$$\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}$$

可以考虑如下思路：
我们要求的矩阵乘消元矩阵得到的结果是单位矩阵。而消元矩阵的作用是将矩阵A的第二行变为-2倍的第一行加上1倍的第二行，那么要将此结果变回单位矩阵，只需加上二倍的第二行，原矩阵就变回了单位矩阵。

简言之，矩阵的逆即是如此的还原操作。

矩阵的转置

转置可以有几种不同的方法来认识它，这里仅分为代数和图形两种方向。

转置可以直接理解为行与列的交换，即矩阵A中位置$(i,j)$的元素，将会出现在其转置矩阵的$(j,i)$位置。

从图形上来说，矩阵的转置即是让原矩阵以正对角线为轴进行对称变换。

示例：$\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}$此矩阵的转置为：$\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}$

从图形上的理解也告诉我们，应该存在这么一类矩阵，它们沿正对角线对称，可得到

$A=A^T这里的上标T是转置transpose的缩写，表示转置操作$

而我们称这样的矩阵为对称矩阵。

转置的性质

基础运算

$(A+B{)}^T=A^T+B^T$
这应该很好理解，A和B能求和意味着A与B形状相同，求和运算是相加相同位置的两个元素，那么将其沿对角线翻转过后结果同样不会改变。

$(AB{)}^T=B^T{A}^T$
推导：

我们先从$(Ax{)}^T$开始理解，考虑$x$为一个列向量。

$(Ax{)}^T=x^T{A}^T$这一点似乎是理所当然的，是吗？因为$Ax$是矩阵A的行的线性组合，将其转置后，要得到同样的结果，就需要$A^T$的行的线性组合，即$x^T$应该放在$A^T$的左边。

以同样的思维思考，当"$x$"变为2列，3列，n列也应是同样的道理。因此，$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

$(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$
这一点也很好证明，如下：

$$\begin{gathered} A^{-1}A=I \\ (A^{-1}A{)}^T=A^T(A^{-1}{)}^T=I \\ \to (A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1} \end{gathered}$$

矩阵乘其转置为对称矩阵

任意矩阵R，不管它对不对称，R乘以其转置得到的一定是对称矩阵：

$R{R}^T一定为对称矩阵$

示例：举一个3×2的矩阵$R$（转置不同于逆，不要求一定为方阵），乘其转置$R^T$将得到对称矩阵。

$$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 3\\ 4& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 3& 3& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}10& 11& 7\\ 11& ...& ...\\ 7& ...& ...\end{array}\right]$$

为方便观察规律，这里用的矩阵乘法方法为$a_{i,j}=ro{w}_i\times colum{n}_j$

结果矩阵 (1,1) 位置元素是$1\times 1+3\times 3=10$ 好吧，(1,1) 其实不重要

结果矩阵 (1,2) 位置元素是$1\times 2+3\times 3=11$
结果矩阵 (2,1) 位置元素是$2\times 1+3\times 3=11$

结果矩阵 (1,3) 位置元素是$1\times 4+3\times 1=7$
结果矩阵 (1,3) 位置元素是$4\times 1+1\times 3=7$

相信大家看了这两组位置对称元素的计算，就能直观感受到$R{R}^T=对称矩阵$了。

其实要证明的话也只很简单：

$(R{R}^T{)}^T=R^T(R^T{)}^T=R^{T}R$

置换矩阵

置换矩阵$P$是与行变换息息相关的概念，或者说如消元矩阵代表了消元操作一样，置换矩阵代表了行变换操作。

以3×3矩阵为例，行变换操作即为交换行与行之间的元素，不改变元素本身。

要使一个矩阵的第一行与第三行交换位置，即我们需要如下置换矩阵$P_{1,3}$:

$$\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}$$

如果你对线性组合足够熟悉，那么得到这个置换矩阵是理所当然的，这里就不再展开分析。

置换矩阵的性质

第一个问题，n*n的矩阵有多少个置换矩阵？这个问题很简单，$A_n^n$嘛，即$n!$，从1乘到n。

性质二：对于n*n的矩阵中所有置换矩阵组成一个集合来说：

集合中任意元素的逆在集合中。
集合中所有元素的积的结果是单位矩阵。