集合论（ZFC）之共尾值（Cofinality）

直观感受（Intuition）及核心理念（Core Idea）

        共尾值（Cofinality）的概念，是用于描述极限序数尾段的形态。此处定义的共尾，只针对极限序数（limit ordinal），后续会将共尾的概念扩展到所有偏序集合。

核心理念的形式化（Formalization）

        给定一个非0极限序数 a，一个上升（increasing）序列 〈bᵢ: i < k〉，其中 k 是极限序数，如果，limᵢ→ₖ bᵢ = a， 即 sup { bᵢ: i < k } = a，那么，称 上升（increasing）序列 〈bᵢ: i < k〉 在极限序数 a 中 共尾（cofinal in a）。

        同理，给定一集合 A ⊂ a，如果 sup A = a，那么 集合A 在 极限序数 a 中共尾（cofinal in a）。

        给定一个极限序数 a，其共尾值（Confinality），记为 cf a ，有

cf a   = 最小的极限序数 k，

使得 存在一个上升（increasing）序列  〈bᵢ: i < k〉，其极限 limᵢ→ₖ bᵢ = a ，

即，sup{ bᵢ: i < k } = a

显然，有， cf a 是一个极限序数（limit ordinal），且 cf a ≤ a。

如 cf ( ℕ + ℕ ) = cf ℵω = cf ℕ = ℕ 。

那么，有， cf ( cf a ) = cf a。

证：

        令 cf a = k，其中 k 是最小极限序数（limit ordinal）满足 limᵢ→ₖ bᵢ = a，得到 cf k = k，

        此时，需要证明 〈bᵢ: i < k〉， limᵢ→ₖ bᵢ = k ；

        因 k 是极限序数，那么 k = sup { i :  i <  k }；

        那么，令 bᵢ = i，有 〈i: i < k〉，有，limᵢ→ₖ i = sup { i :  i <  k } = k 。

        还需要证明 k 是最小的极限序数，满足 limᵢ→ₖ i = k。

        假设存在一个极限序数 j，j < k， 满足  limᵢ→ⱼ i = k，那么，

根据 k 的定义，k = sup { i :  i <  k }，有 k > j，因此，产生矛盾。

        综上，有 cf ( cf a ) = cf a 。