直观感受(Intuition)及核心理念(Core Idea)

        共尾值(Cofinality)的概念,是用于描述极限序数尾段的形态。此处定义的共尾,只针对极限序数(limit ordinal),后续会将共尾的概念扩展到所有偏序集合。

核心理念的形式化(Formalization)

        给定一个非0极限序数 a,一个上升(increasing)序列 〈bᵢ: i < k〉,其中 k 是极限序数,如果,limᵢ→ₖ bᵢ = a, 即 sup { bᵢ: i < k } = a,那么,称 上升(increasing)序列 〈bᵢ: i < k〉 在极限序数 a 中 共尾(cofinal in a)。

        同理,给定一集合 A ⊂ a,如果 sup A = a,那么 集合A 在 极限序数 a 中共尾(cofinal in a)。

        给定一个极限序数 a,其共尾值(Confinality),记为 cf a ,有

cf a   = 最小的极限序数 k,

使得 存在一个上升(increasing)序列  〈bᵢ: i < k〉,其极限 limᵢ→ₖ bᵢ = a ,

即,sup{ bᵢ: i < k } = a

显然,有, cf a 是一个极限序数(limit ordinal),且 cf a ≤ a。

cf ( ℕ + ℕ ) = cf ℵω = cf ℕ = ℕ

那么,有, cf ( cf a ) = cf a。

证:

        令 cf a = k,其中 k 是最小极限序数(limit ordinal)满足 limᵢ→ₖ bᵢ = a,得到 cf k = k,

        此时,需要证明 〈bᵢ: i < k〉, limᵢ→ₖ bᵢ = k ;

        因 k 是极限序数,那么 k = sup { i :  i <  k };

        那么,令 bᵢ = i,有 〈i: i < k〉,有,limᵢ→ₖ i = sup { i :  i <  k } = k 。

        还需要证明 k 是最小的极限序数,满足 limᵢ→ₖ i = k。

        假设存在一个极限序数 j,j < k, 满足  limᵢ→ⱼ i = k,那么,

根据 k 的定义,k = sup { i :  i <  k },有 k > j,因此,产生矛盾。

        综上,有 cf ( cf a ) = cf a

 

 

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