证明存在常数c, C ＞ 0，使得在一系列特定条件下，某个特定投资时刻出现的概率与天数的对数成反比

在第0天，某债券价值1元。在第$n$天，其价值为$S_n:=e^{(X_1+\cdots +X_n)}$ 元，其中$X_i$ 是独立同分布随机变量，满足$P(X_i=1)=P(X_i=-1)=1/2$。爱丽丝有一些直到第$N$天都可投资该债券的闲钱。作为一位有独特投资理念的投资人，她只愿意在“信号时刻”购入债券。所谓信号时刻，指的是某个日子$K$，其中$K\in [1,\cdots ,N-1]$，并且该债券在第$K$天的价格是第0天到第$K$天中最高的，却是第K天到第N天中最低的。

当然即使这样的日子$K$ 存在，她也无法在当时确认这是否就是“信号时间”。但事后来着，我们很自然地想知道，这样的信号时间是否真的存在。试证明存在不依赖于$N$ 的常数$c,C>0$ 使得这样的日子$K$ 存在的概率$ϵ\in (c/\log N,C/\log N)$。

提示：定义$p_n=P[S_i\ge 1,\forall i=1,\cdots ,n]$ 并注意到

$$p_n^2\le P[1\le S_i\le S_n,\forall 1\le i\le n]\le p_n^{[n/2]}$$。

再证明该提示。

证：

1. 信号时刻定义：

   • 信号时刻的定义是准确的，要求满足以下两条条件：

     -$S_n\ge 1$

     -$S_i\ge 1$ 对于所有$i=1,2,\dots ,n$

2. 定义$p_n$：

   • 定义$p_n=P[S_i\ge 1,\forall i=1,\cdots ,n]$ 是合理的，这个概率确实表示在前$n$ 天债券价格始终不低于初始价格的概率。

3. 不等式的证明：

   • 证明不等式$p_n^2\le P[1\le S_i\le S_n,\forall 1\le i\le n]$ 是正确的。可以通过独立性说明：

     $$P[1\le S_i\le S_n,\forall 1\le i\le n]\ge P[S_1\ge 1]\cdot P[S_2\ge 1]=p_n^2$$

   • 接下来的不等式$P[1\le S_i\le S_n,\forall 1\le i\le n]\le p_n^{[n/2]}$ 需要更详细的解释。可以考虑将时间段分为两部分，证明：

     $$P[1\le S_i\le S_n,\forall 1\le i\le n]\le P[S_i\ge 1,\forall 1\le i\le n/2]\cdot P[S_i\ge 1,\forall n/2<i\le n]$$

     通过独立性，可以得到：

     $$\le p_{n/2}^2\le p_n^{[n/2]}$$

   • 这一步需要根据实际情况可能的细化。

4. 局部最大值的概率与路径长度：

   • 关于局部最大值和路径长度$N$ 的关系，你可以使用随机游走理论中的大数法则。具体来说，随着$N$ 的增大，局部最大值的出现概率将会减少，因为路径会更加趋向于稳定：

     $$P[\text{存在局部最大值}]\sim \frac{C}{N}\text{（其中 C 是常数）}$$

   • 这一部分可以结合具体的随机游走模型进行推导。

5. 选择常数$c$ 和$C$：

   • 在选择常数$c$ 和$C$ 时，确保它们能够准确反映出事件发生的概率关系。选择时可以使用极限定理或中心极限定理来支持常数的选取。