正则文法与正则表达式的相互转化问题(编译原理)

前言

在词法分析过程中，如果将每类单词都看作一种语言，则大多数单词词法可以用正则文法来描述。 除了正则文法外，正则表达式也可以相应的用来描述单词，正则文法和正则表达式的能力相同，且可以互相转化。正则表达式比正则文法更直观，有时首选正则表达式来表示正则语言。

一、正则文法

1.定义

正则文法在这篇文章（编译原理-文法的定义与分类）中有所讲解，在此处再稍微讲述一遍：

• 正则文法G = (V，T，P，S)中，对∀α —> β∈P，α β均具有形式A —> w或A —> wB(A —> w或A —> Bw)，其中A，B∈V，w∈T+。
• 正则文法描述T上的正则语言。

2.例子

例子：词法分析中标识符的文法：

二、正则表达式

1.定义

定义：设∑是一个字母表，则∑上的正则表达式及其所表示的正则语言可递归地定义如下：

⑴ Ø是∑上的一个正则表达式，它表示空集；

⑵ ε是∑上的一个正则表达式，它表示语言{ε}；

⑶ 对于∀a(a∈∑)，a是∑上的一个正则表达式，它表示的正则语言是{a}；

⑷ 假设r和s都是∑上的正则表达式，它们表示的语言分别为L®和L(s)，则：

( r )也是∑上的正则表达式，它表示的语言为L( r )；
(r|s)也是∑上的正则表达式，它表示的语言为L( r )∪L(s)；（并操作）
(r•s)也是∑上的正则表达式，它表示的语言为L( r )L(s)；（连接操作）
(r*)也是∑上的正则表达式，它表示的语言为(L( r ))*；（克林闭包操作）

⑸ 使用上述规则构造的表达式是∑上的正则表达式。

2.例子

例子：词法分析中标识符的正则表达式表达：

三、转换规则

1.正则文法转换为正则表达式

具体转换步骤为：

1.根据正则文法G构造正则表达式联立方程组。

假设正则文法G是右线性的，其每个产生式的右部只含有一个终结符，则有如下方程式构造规则：

2.解联立方程组，求等价的正则表达式r。

用代入消元法逐个消去方程组中除开始符号S外的其他变量，最后即可得到关于开始符号S的解。

代入消元规则如下：

求得结果。如果最后得到的关于S的方程式为如下形式，S=α1|α2|…|αh则将方程式右边所有其中仍然含有语法变量的αi(1≤i≤n)删除，得到的结果就是与G等价的正则表达式。如果任意的αi(1≤i≤n)均含有语法变量，则Ø就是与G等价的正则表达式。

2.正则表达式转换为正则文法

给定正则表达式r，按如下方法构造正则定义式，并逐步将其转换成正则文法。

引入开始符号S，从如下正则定义式开始：

S—>r

按如下规则将S—>r分解为新的正则定义式，在分解过程中根据需要引入新的语法变量。

四、转换例子

1.正则文法转换为正则表达式

过程：

2.正则表达式转换为正则文法

例1.标识符定义的转换：

(1).引入 S
(2).S→ (|)*
(3).分解为
S→ A
A→(|)A|ε

例2.(a|b)*a(a|b)(a|b)

转换成正则文法：
(1).S->Aa|Ab
(2).A->Ba|Bb
(3).B->Ca
(4).C->Ca|Cb|ε

总结

正则表达式与正则文法等价：
对任意一个正则文法，存在一个定义同一语言的正则表达式；
对任意一个正则表达式，存在一个定义同一语言的正则文法。

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