概率论中两种特殊的 E(x) 计算方法：先求积分再求导，或者先求导再求积分

为了求解某个函数 ( E(x) )，可以使用两种方法：先求积分再求导，或者先求导再求积分。这里我们以数列求和公式为例，分别介绍这两种方法。

1. 先求积分再求导

假设我们有一个函数 ( f(x) ) 的级数展开：

$$E(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n$$

我们可以通过对 ( E(x) ) 进行积分，再求导来得到 ( E(x) )。

(1) 对 ( E(x) ) 积分

定义一个新函数 ( F(x) )：

$$F(x)=\int E(x)dx=\int \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^{n}dx$$

交换积分和求和次序：

$$F(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\int x^{n}dx$$

计算积分：

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

所以，

$$F(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

(2) 对 ( F(x) ) 求导

我们现在对 ( F(x) ) 求导：

$$E(x)=\frac{d}{dx}F(x)=\frac{d}{dx}\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

交换求导和求和次序：

$$E(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)$$

计算导数：

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{(n+1)x^n}{n+1}=x^n$$

所以，

$$E(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n$$

这验证了我们的结果。

2. 先求导再求积分

我们也可以通过先对 ( E(x) ) 求导，再对导函数进行积分来得到 ( E(x) )。

(1) 对 ( E(x) ) 求导

对 ( E(x) ) 求导：

$$E^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}\left(\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n\right)$$

交换求导和求和次序：

$$E^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\frac{d}{dx}(x^n)$$

计算导数：

$$\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}$$

所以，

$$E^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}n{x}^{n-1}$$

(2) 对 ( E’(x) ) 积分

现在对 ( E’(x) ) 积分：

$$E(x)=\int E^{\prime }(x)dx=\int \sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}n{x}^{n-1}dx$$

交换积分和求和次序：

$$E(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}n\int x^{n-1}dx$$

计算积分：

$$\int x^{n-1}dx=\frac{x^n}{n}$$

所以，

$$E(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}n\frac{x^n}{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n$$

这验证了我们的结果。

通过这两种方法，我们可以得到同样的函数 ( E(x) )，即：

$$E(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n$$