Matlab的符号计算★★★★

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目录

1创建符号变量

1.1符号变量

1.2符号方程

1.3符号矩阵

2简单运算

3符号表达式的整理

3.1化简-simplify

3.2因式分解-factor

3.3多项式展开-expand

3.4合并-collect

3.5计算分子分母-numden

3.6自然化结果

4符号函数求导

4.1一元函数-diff(y,n)

4.2多元函数-diff(y,x,n)

4.3矩阵差分-diff(A,n,d)

5积分

5.1不定积分-int(y,x)

5.2定积分-int(y,x,a,b)

5.3数值积分-integral(y,a,b)

6求解方程

6.1单变量方程-solve(eqn,x)

6.2多变量方程-solve(eqn,x)

6.3方程组-solve(eqn,[u,v])

6.4solve函数问题

6.5vpasovle(eqn,x,[a,b])函数-指定搜索范围

6.6fsolve函数

1创建符号变量

1.1符号变量

% 简单符号变量的创建
syms x  % 观察工作区， sym是symbolic的缩写
syms a b c

1.2符号方程

% 符号方程的创建，两种方法
syms a x
y = a*x+x^2
% y = str2sym('a*x+x^2')  %Matlab 2017b 版本后推出

1.3符号矩阵

% 符号矩阵
syms alpha
M = [cos(alpha)  -sin(alpha);
       sin(alpha)  cos(alpha)]

2简单运算

%% 简单运算
syms a b c d e
y = a + b
% a + b
x = c - d
% c - d
y1 = x*y
% (a + b)*(c - d)
y2 = y1/y
% c - d
y3 = y1^3
% (a + b)^3*(c - d)^3
y4 = sqrt(y3)   
% ((a + b)^3*(c - d)^3)^(1/2)
y5 = exp(y4)
% exp(((a + b)^3*(c - d)^3)^(1/2))

3符号表达式的整理

3.1化简-simplify

% 化简
syms a
y=(cot(a/2)-tan(a/2))*(1+tan(a)*tan(a/2))
simplify(y)
% 2/sin(a)

3.2因式分解-factor

%% 因式分解
factor(12) % 对常数进行因式分解 
%      2     2     3
syms m n x
y = -24*m^2*x-16*n^2*x
factor(y)
% [ -8, x, 3*m^2 + 2*n^2]
y1=m^3-n^3
factor(y1)
% [ m - n, m^2 + m*n + n^2]

3.3多项式展开-expand

%% 多项式展开
syms a x
y = a*(x^2-a)^2+(x-2)
expand(y)
% a^3 - 2*a^2*x^2 + a*x^4 + x - 2

3.4合并-collect

%% 合并
syms x y
z = (x+y)^2*y+5*y*x-2*x^3
% expand(z)   - 2*x^3 + x^2*y + 2*x*y^2 + 5*x*y + y^3
collect(z,x)
% y*x^2 - 2*x^3 + (2*y^2 + 5*y)*x + y^3
collect(z,y)
% y^3 + 2*x*y^2 + (x^2 + 5*x)*y - 2*x^3

3.5计算分子分母-numden

%% 计算分子与分母
% [z1,z2] = numden(2.5)  % 会报错，因为numden的输入变量不能是数值，只能是符号变量
% ans = sym(2.5);  % sym函数可以将数值2.5转换为符号
[z1,z2] = numden(sym(2.5)) % 对常数计算分子与分母
% z1 = 5
% z2 = 2
syms x y
z = 1/x*y+x/(x^2-2*y)
[z1,z2] = numden(z)  %z1分子，z2分母
% z1 = - x^2*y - x^2 + 2*y^2
% z2 = x*(- x^2 + 2*y)

3.6自然化结果

syms x y
M = (1/x*y+x/(x^2-2*y)-x^2/(3+y)^2)^2;
expand(M)  
% y^2/x^2 + x^4/(y^4 + 12*y^3 + 54*y^2 + 108*y + 81) + (2*x^3)/(- x^2*y^2 - 6*x^2*y - 9*x^2 + 2*y^3 + 12*y^2 + 18*y) - (2*y)/(- x^2 + 2*y) + x^2/(x^4 - 4*x^2*y + 4*y^2) - (2*x*y)/(y^2 + 6*y + 9)

% 新建实时脚本，将上述代码放在实时脚本中运行

4符号函数求导

4.1一元函数-diff(y,n)

diff(y,n):对y函数求n次导数

% 一元函数的导数
syms x
y = x^4-5*x^2+6
diff(y) %求一阶导数
% 4*x^3 - 10*x
diff(y,2) %求二阶导数
% 12*x^2 - 10

y = cos(x)*tan(x)
dy = diff(y,10)  %求十阶导数
simplify(dy)
y = sin(x)*tan(x)
dy = diff(y,10)  %求十阶导数
simplify(dy)

4.2多元函数-diff(y,x,n)

diff(y,x,n):在y函数中对x求n次偏导

% 多元函数的导数
syms x1 x2 x3
y1 = x1^5*x2+x2*x3-x1^2*x3
py1 = diff(y1,x1,1) % 对x1求一阶偏导
% 5*x2*x1^4 - 2*x3*x1
py2 = diff(y1,x1,2) % 对x1求二阶偏导
% 20*x2*x1^3 - 2*x3
py3 = diff(y1,x1,x2) % 先对x1求偏导，再对x2求偏导
% 5*x1^4
py4 = diff(y1,x2,x1) % 先对x2求偏导，再对x1求偏导
% 5*x1^4

4.3矩阵差分-diff(A,n,d)

diff(A,n,d):对A矩阵进行n次差分，若d为1则在行上进行差分，否则表示为在列上进行差分

%% 注意，如果diff函数作用的对象不是符号函数，而是矩阵，那么对应的功能是求差分。
A=[4 5 6 3 2 1];
diff(A)  % 求向量A的一阶差分     1     1    -3    -1    -1
diff(A,2)  % 在一阶差分的基础上再差分一次     0    -4     2     0

A=[4 5 6; 
     7 4 2;
     5 6 2]
A1=diff(A)  % 下一行减去上一行求一阶差分
%      3    -1    -4
%     -2     2     0
A2=diff(A,2) % 下一行减去上一行求二阶差分（在一阶差分的基础上再差分一次）
%     -5     3     4
A3=diff(A,2,1) % 最后面的1表示在行上进行差分（在列的方向上进行差分）
%     -5     3     4
A4=diff(A,1,2)  % 后一列减去前一列求一阶差分， 最后面的2表示在列上进行差分（在行的方向上进行差分）
%      1     1
%     -3    -2
%      1    -4
A4=diff(A,2,2) % 后一列减去前一列求二阶差分
%      0
%      1
%     -5

5积分

5.1不定积分-int(y,x)

int(y,x):在y函数上面对x求不定积分

syms x
y = x^2
int(y,x)
% x^3/3 注意，Matlab计算时不会给我们加上常数C

syms x
y = 1/x
int(y,x)
% log(x)  注意，Matlab计算1/x形式的不定积分时不会给我们加上绝对值~

syms x
y = x^2 / (1+x^2)
int(y,x)
% x - atan(x)

syms x
y = 1/(exp(x)+1)
int(y,x)
% x - log(exp(x) + 1)

syms x a
y = 1/sqrt(x^2-a^2)
int(y,x)
% log(x + (x^2 - a^2)^(1/2))

5.2定积分-int(y,x,a,b)

int(y,x,a,b):在y函数上面对x求定积分,a为上界，b为下界

syms x
y = sin(x)
int(y,x,0,pi/2) 
% 1

syms x a b
y = exp(x)
int(y,x,a,b)
% exp(b) - exp(a)

syms x
y = (sin(x))^2 / x^2
b=int(y,x,0,+inf)
% pi/2

% 注意，不是所有的函数都可以利用int函数计算出最后的结果，例如：
syms x
y = 1 / exp(x) * log(x+2*x^2+sin(x))
int(y,x,0,4)
% int(exp(-x)*log(x + sin(x) + 2*x^2), x, 0, 4)

5.3数值积分-integral(y,a,b)

integral(y,a,b):在y函数上取范围为[a,b]的数值积分

% 我们可以计算数值积分：数值积分可用于求定积分的近似值。在数值分析中，数值积分是计算定积分数值的方法和理论。
% 在数学分析中，给定函数的定积分的计算不总是可行的，许多定积分不能用已知的积分公式得到精确值。
y = @(x) 1 ./ exp(x) .* log(x+2.*x.^2+sin(x))  % 注意，写成函数句柄时，要用点乘或者点除
integral(y,0,4)

6求解方程

6.1单变量方程-solve(eqn,x)

solve(eqn,x):对eqn单变量方程中未知数x求解

%% 例题1: 求解单变量方程
syms x
eqn = (sin(x) == 1);  % eqn = sin(x) == 1;  
answ = solve(eqn, x)

6.2多变量方程-solve(eqn,x)

solve(eqn,x):对eqn多变量方程中未知数x求解

%% 例题2: 多变量方程求解
clear;clc
syms a b c x
eqn = (a*x^2 + b*x + c == 0);
answ1 = solve(eqn, x)  % 将x视为未知数求解 
%  -(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
%  -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

6.3方程组-solve(eqn,[u,v])

solve(eqn,[u,v]):对eqn方程组中的未知数u,v求解

%% 例题3：方程组求解
clear;clc
syms u v a
eqn = [2*u + v == a, u - v == 1];
answ = solve(eqn, [u, v])
answ.u
answ.v
[answ_u, answ_v] = solve(eqn, [u, v])

6.4solve函数问题

solve函数可能找不到很精密的符号函数解，就会发出警告，因此使用下面俩种函数更好。

%% solve 可能会警告
syms x
eqn = (sin(x) == x^2 - 1);
solve(eqn, x)  % 警告: Cannot solve symbolically. Returning a numeric approximation instead. 

6.5vpasovle(eqn,x,[a,b])函数-指定搜索范围

vpasovle(eqn,x,[a,b]):在给定方程eqn上，在x处于[a,b]范围下求解未知数x

%% vpasolve函数求解
% 用vpasolve函数指定求[0 2]上的解
syms x
eqn = sin(x) == x^2 - 1;
vpasolve(eqn, x, [0 2])

6.6fsolve函数

fsolve函数实在vpasovle函数基础上的改进，求解功能最强大

%% fsolve函数（求解功能最为强大哦）
% fsolve是Matlab优化工具箱中的一个函数，可专门用来求解特别复杂的方程和方程组
x0 = [0,0];  % 初始值
result_x = fsolve(@my_fun,x0)

% 自定义的my_fun函数  
function F = my_fun(x)
    F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
    F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;
end