3D到2D的魔法：计算机视觉中的投影变换

嘿，小伙伴们！今天给大家带来的是计算机视觉领域里的一项关键技术——3D到2D的变换。无论你是电影特效爱好者，还是游戏开发小白，甚至是对虚拟现实充满好奇的小白兔，这篇教程都会让你感受到3D到2D变换的魅力所在。让我们一起来看看，如何用Python和OpenCV实现这种神奇的转换吧！

理论基础：3D到2D的投影变换

在计算机视觉中，我们经常需要将三维空间中的物体映射到二维平面上。这个过程叫做投影变换，是很多应用如增强现实（AR）、虚拟现实（VR）、3D建模等的基础。投影变换涉及到坐标系统的转换，其中最常用的方法有两种：正交投影（Orthographic Projection）和平行投影（Perspective Projection）。

实战案例：3D立方体的投影

为了让大家更好地理解3D到2D的变换，我们来做一个简单的实验——将一个3D立方体投影到2D平面上。这不仅是一个很好的视觉效果演示，而且还能帮助我们理解投影变换的工作原理。

1. 环境准备

首先，确保你安装了必要的库：

pip install numpy opencv-python

2. 定义3D立方体

接着，我们需要定义一个简单的3D立方体，并设定它的顶点坐标。

import cv2
import numpy as np

# 立方体的顶点坐标
cube_vertices = np.array([
    [1, 1, 1],
    [-1, 1, 1],
    [-1, -1, 1],
    [1, -1, 1],
    [1, 1, -1],
    [-1, 1, -1],
    [-1, -1, -1],
    [1, -1, -1]
], dtype=np.float32)

3. 构建变换矩阵

接下来，我们构建变换矩阵来对立方体进行变换。这里我们只考虑平移和旋转，而不涉及缩放。

def get_transformation_matrix(translation=(0, 0, 0), rotation=(0, 0, 0)):
    # 平移矩阵
    T = np.array([
        [1, 0, 0, translation[0]],
        [0, 1, 0, translation[1]],
        [0, 0, 1, translation[2]],
        [0, 0, 0, 1]
    ])

    # 旋转矩阵
    Rx = np.array([[1, 0, 0],
                   [0, np.cos(rotation[0]), -np.sin(rotation[0])],
                   [0, np.sin(rotation[0]), np.cos(rotation[0])]])
    Ry = np.array([[np.cos(rotation[1]), 0, np.sin(rotation[1])],
                   [0, 1, 0],
                   [-np.sin(rotation[1]), 0, np.cos(rotation[1])]])
    Rz = np.array([[np.cos(rotation[2]), -np.sin(rotation[2]), 0],
                   [np.sin(rotation[2]), np.cos(rotation[2]), 0],
                   [0, 0, 1]])
    R = Rz @ Ry @ Rx

    # 将旋转矩阵扩展为 4x4 的形式
    R_expanded = np.eye(4)
    R_expanded[:3, :3] = R

    return T @ R_expanded

4. 应用变换

然后，应用变换矩阵来更新3D模型的位置。

def apply_transformation(vertices, transformation_matrix):
    # 将顶点转换为齐次坐标
    vertices_homogeneous = np.hstack((vertices, np.ones((vertices.shape[0], 1))))
    # 应用变换
    transformed_vertices_homogeneous = transformation_matrix @ vertices_homogeneous.T
    # 归一化齐次坐标
    transformed_vertices = (transformed_vertices_homogeneous[:3, :] /         transformed_vertices_homogeneous[3, :]).T
    return transformed_vertices
# 假设相机内参
# fx, fy 是焦距，cx, cy 是光心坐标
camera_matrix = np.array([
    [1000, 0, 320],  # 假设水平焦距为1000像素，光心横坐标为320像素
    [0, 1000, 240],  # 假设垂直焦距为1000像素，光心纵坐标为240像素
    [0, 0, 1]
], dtype=np.float32)

# 假设没有畸变系数
distortion_coeffs = None

image = np.zeros((480, 640, 3), np.uint8) + 255

# 构造变换矩阵
transformation_matrix = get_transformation_matrix(
    translation=(0, 0, -5),
    rotation=(np.pi / 4, 0, 0)
)

# 应用变换
transformed_vertices = apply_transformation(cube_vertices, transformation_matrix)

5. 投影与绘制

将变换后的3D坐标投影到2D图像上，并绘制出来。

# 绘制立方体
def project_and_draw(image, vertices, camera_matrix, distortion_coeffs=None):
    # 投影矩阵
    projected_points, _ = cv2.projectPoints(vertices, np.zeros(3), np.zeros(3), camera_matrix, distortion_coeffs)

    # 连接顶点形成边框
    edges = [(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 0),
             (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 4),
             (0, 4), (1, 5), (2, 6), (3, 7)]

    for edge in edges:
        p1 = tuple(projected_points[edge[0]].ravel().astype(int))
        p2 = tuple(projected_points[edge[1]].ravel().astype(int))
        cv2.line(image, p1, p2, (255, 0, 0), 2)

    return image

6. 创建图像

最后，我们创建一个图像，并应用上述所有的变换。

image = project_and_draw(image, transformed_vertices, camera_matrix, distortion_coeffs)

cv2.imshow('3D Cube Projection', image)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

成功案例

当你运行这段代码时，你会看到一个经过变换的3D立方体被渲染在了一个空白的图像上。这只是一个简单的示例，你可以在此基础上扩展，比如加入更多的变换类型、使用真实的图像背景，甚至制作一段动画视频。

运行效果

小贴士

• 变换顺序：注意变换的顺序会影响到最终效果，不同的顺序可能产生不同的视觉效果。
• 相机校准：在实际应用中，相机的校准参数非常重要，它决定了投影的质量。

结语

通过今天的实战演练，大家已经掌握了如何使用Python来实现3D到2D变换的基础知识。这些简单的变换是构建复杂视觉应用的基石，掌握了它们，你就能够开启无限可能的大门！如果你有任何问题或想法，欢迎留言交流。喜欢我的朋友请点赞，关注并收藏，我们下次再见！